[논문 리뷰] Updating the error term in the prime number theorem

Tim Trudgian|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 13.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 17인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 리만 제타함수의 영이 없는 영역을 정교화하여 소수정리의 오차 항을 향상시킨다. 이로 인해 $|\theta(x) - x|$ 및 $|\psi(x) - x|$에 대한 더 날카운 명시적 상한을 도출한다. $R = 6.455$ 및 $B = 17$인 새로운 영이 없는 영역을 사용하여, 저자들은 각각 $x \geq 149$ 및 $x \geq 23$부터 유효한 더 날카운 추정치를 확립한다. 이는 소수 분포, 산술급수, 짧은 간격, 라마누잔 부등식에 대한 향상된 결과를 가능하게 한다.

ABSTRACT

An improved estimate is given for $|θ(x) -x|$, where $θ(x) = \sum_{p\leq x} \log p$. Three applications are given: the first to arithmetic progressions that have points in common, the second to primes in short intervals, and the third to a conjecture by C. Pomerance.

연구 동기 및 목표

• 체비셰프 함수 $\theta(x) = \sum_{p \leq x} \log p$에 대한 소수정리의 명시적 오차 항을 향상시키는 것.
• 리만 제타함수의 영이 없는 영역을 정교화하여 $|\theta(x) - x|$ 및 $|\psi(x) - x|$에 대한 상한을 강화하는 것.
• 향상된 오차 추정치를 이용해 산술급수, 짧은 간격, 라마누잔 부등식에 관한 결과를 강화하는 것.
• 이전 작업(스코언펠드 및 두사르트 포함)을 초월하거나 개선하는 명시적이고 수치적으로 검증 가능한 상한을 제공하는 것.

제안 방법

• 카디리의 결과와 $H = 3.061 \times 10^{10}$ 이하에서 리만 가설의 검증된 고도를 이용해 $\zeta(s)$에 대한 새로운 영이 없는 영역을 유도한다.
• 향상된 영이 없는 영역을 활용해 오차 항 $\epsilon_0(x) = \sqrt{\frac{8}{17\pi}} X^{1/2} e^{-X}$를 재평가하며, 여기서 $X = \sqrt{(\log x)/R}$ 및 $R = 6.455$이다.
• 분석적 추정과 수치적 검증의 조합을 통해 $x \geq 149$에 대해 $|\theta(x) - x| \leq x \epsilon_0(x)$ 및 $x \geq 23$에 대해 $|\psi(x) - x| \leq x \epsilon_0(x)$를 적용한다.
• 작은 $x$에 대해 페버와 카디리의 $|\psi(x) - x|$ 상한을 활용하고, 새로운 오차 항과 결합하여 유효 범위를 $x \geq e^{25}$로 연장한다.
• $\pi(x) - \textrm{li}(x) = \frac{\theta(x) - x}{\log x} + \int_2^x \frac{\theta(t) - t}{t \log^2 t} dt + \text{상수}$의 관계를 이용해 $|\pi(x) - \textrm{li}(x)|$에 대한 개선된 상한을 도출한다.
• 향상된 상한을 활용해 포머런스의 P-정수에 관한 추측과 $\pi(x)$를 포함하는 라마누잔 부등식에 대한 결과를 강화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만 제타함수의 영이 없는 영역을 정교화함으로써 소수정리의 오차 항을 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 현재의 영이 없는 영역 추정치와 리만 가설의 수치적 검증을 바탕으로 할 때, $|\theta(x) - x|$ 및 $|\psi(x) - x|$에 대한 가장 날카운 명시적 상한은 무엇인가?
• RQ3 향상된 오차 상한은 짧은 간격 내 소수 분포 및 산술급수에 응용할 때 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 향상된 오차 항을 이용해 포머런스의 P-정수나 $\pi(x)$를 포함하는 라마누잔 부등식에 대한 상한을 강화할 수 있는가?
• RQ5 현대의 영이 없는 영역 결과를 활용해 스코언펠드의 원래 방법을 업데이트하여 더 날카운 명시적 상한을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 $R = 6.455$를 사용하여 모든 $x \geq 149$에 대해 $|\theta(x) - x| \leq x \epsilon_0(x)$를 확립하며, 스코언펠드의 $R_0 = 9.6459$를 초월한다.
• $|\psi(x) - x| \leq x \epsilon_0(x)$는 모든 $x \geq 23$에 대해 성립하며, 이는 이전 결과에 비해 상한의 기준을 크게 낮춘다.
• 향상된 오차 항을 통해 $x \geq 229$일 때 $|\pi(x) - \textrm{li}(x)| \leq 0.2795 \frac{x}{(\log x)^{3/4}} \exp\left(-\sqrt{\frac{\log x}{6.455}}\right)$를 도출하며, 두사르트의 상한을 초월한다.
• 짧은 간격 내 소수에 대한 상한이 향상되었으며, $x \geq e^{1383} \approx 3.2 \times 10^{600}$일 때 $(x - x/\Delta, x]$ 간격에 항상 소수가 존재한다. 여기서 $\Delta = 212215384$이며, 이는 $x \geq e^{150}$일 때 이전 결과를 초월한다.
• 논문은 $k$가 P-정수이면 $k < 10^{1805}$임을 증명하며, 하자두, 사라다, 타이제만의 이전 상한 $k < 10^{3500}$을 초월한다.
• 향상된 오차 항을 활용해 논문은 라마누잔 부등식 $\pi(x)^2 < \frac{e x}{\log x} \pi(x/e)$가 모든 $x \geq \exp(9658)$에서 무조건적으로 성립함을 보이며, 이는 이전 결과에 비해 상당한 개선이다.