[論文レビュー] Vanishing Pressure Limit of Solutions to the Aw-Rascle Model for Modified Chaplygin gas

Jinhuan Wang, Jinjing Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2014

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、修正チャープリンガスのアヴ＝ラスケルモデルにおける圧力の消滅極限を調査し、圧力パラメータAとBが0に近づくにつれて、リーマン解が圧力なしエーラー方程式の解に収束することを示している。修正された摂動スキーム下では、標準のデルタショックとは異なる特別なデルタショック波が形成され、圧縮波の極限において真空中が出現する。これは、摂動系の解析的および数値的分析によって確認されている。

ABSTRACT

This paper analyzes the vanishing pressure limit of solutions to the Aw-Rascle model and the perturbed Aw-Rascle model for modified Chaplygin gas. Firstly, the Riemann problem of the Aw-Rascle model is solved constructively. A special delta shock wave in the limit of Riemann solutions is obtained. Secondly, the Riemann problem of the perturbed Aw-Rascle model is solved analytically. It is proved that, as the pressure tends to zero, any Riemann solution containing two shock wave tends to a delta shock solution to the transport equations; any Riemann solution containing two rarefaction wave tends to a two-contact-discontinuity solution to the transport equations and the nonvacuum intermediate state in between tends to a vacuum state.

研究の動機と目的

• 修正チャープリンガスの圧力を持つアヴ＝ラスケルモデルの圧力の消滅極限を分析すること。圧力は $ P(\rho) = A\rho - \frac{B}{\rho^\alpha} $ で定義され、$ 0 < \alpha \leq 1 $ である。
• 圧力パラメータ $ A, B \to 0 $ の極限において、デルタショック波および真空中の形成を、輸送方程式の文脈で調査すること。
• 元の系の構造を保ちつつ、圧力なしエーラー方程式の既知の解への収束を可能にする摂動されたアヴ＝ラスケルモデルを構築すること。
• 摂動系における極限のデルタショック波が、標準の圧力なし系の古典的デルタショック波とは異なることを確立すること。

提案手法

• 修正チャープリンガスの圧力 $ P(\rho) = A\rho - \frac{B}{\rho^\alpha} $ を持つ元のアヴ＝ラスケルモデルのリーマン問題を構成的に解く。
• 摂動されたアヴ＝ラスケルモデルを導入し、修正されたフラックス項を用いる：$ \left(\rho\left(u + \frac{A}{2}\rho - \frac{1}{1-\alpha}\frac{B}{\rho^\alpha}\right)\right)_t + \left(\rho u\left(u + A\rho - \frac{B}{\rho^\alpha}\right)\right)_x = 0 $、$ 0 < \alpha < 1 $ に対して有効。
• 弱漸近法および測度論的収束を用いて、$ A, B \to 0 $ の極限におけるリーマン解の極限を分析する。
• 2つのショック波を含む解が、特別な $ \delta $-エンタルピー条件を満たすデルタショック波に収束することを証明する。
• 2つの圧縮波を含む解が、中間領域に真空中を有する2つの接触不連続性を持つ解に収束することを示す。
• 時間に依存する重み追跡法を用いて、$ \delta $-測度の極限形を導出し、$ \rho u $ および $ \rho $ の極限において $ w_1(t)\delta_S $ および $ w_2(t)\delta_S $ の出現を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 圧力パラメータ $ A $ と $ B $ が0に近づくにつれて、修正チャープリンガスの圧力を有するアヴ＝ラスケルモデルのリーマン解はどのように振る舞うか？
• RQ2 極限解は圧力なしエーラー方程式の古典的デルタショック波に収束するのか、それとも新たなタイプのデルタショックが出現するのか？
• RQ3 リーマン解に2つの圧縮波が含まれる場合、極限解の構造はどのようなものか。中間領域に真空中が形成されるか？
• RQ4 元のアヴ＝ラスケルモデルの摂動版を構築できるか。その解が圧力の消滅極限において輸送方程式の解に収束するか？
• RQ5 特別な $ \delta $-エンタルピー条件が、極限デルタショック波を特徴付ける役割を果たすか？

主な発見

• 圧力パラメータ $ A, B \to 0 $ の極限において、特別なデルタショック波が形成され、これは別個の $ \delta $-エンタルピー条件を満たし、圧力なし系の古典的デルタショックとは等価でない。
• 2つのショック波を含むリーマン解では、極限が輸送方程式のデルタショック解に収束し、$ \delta $-測度の重みは $ w_1(t) = \frac{t}{\sqrt{1+\sigma^2}}(\sigma[\rho u] - [\rho u^2]) $ で与えられる。
• 2つの圧縮波を含むリーマン解では、極限が中間領域に真空中を有する2つの接触不連続性を持つ解に収束し、非真空中の中間状態は $ A, B \to 0 $ の極限で消える。
• フラックス項に $ \frac{A}{2}\rho $ および $ \frac{1}{1-\alpha}\frac{B}{\rho^\alpha} $ を含む摂動アヴ＝ラスケルモデルにより、極限において輸送方程式の解への収束が保証される。
• 極限における $ \delta $-測度の時間に依存する重みは $ w_2(t) = \frac{t}{\sqrt{1+\sigma^2}}(\sigma[\rho] - [\rho u]) $ として導出され、測度値解の構造が確認される。
• 数値シミュレーションは解析的結果を支持しており、$ A $ と $ B $ が0に近づくにつれてデルタショック波および真空中が形成されることを示している。