[논문 리뷰] Variable Flavor Number Scheme for Final State Jets

André H. Hoang, Piotr Pietrulewicz외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 06. 23.

Particle physics theoretical and experimental studies참고 문헌 3인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 질량이 있는 쿼크를 포함한 고에너지 과정에서의 포함형 제트 관측량에 대해 유연한 쿼크의 수를 가진 기준 체계(VFNS)를 제안한다. 이는 기존의 프레임워크를 일반화하여 임의의 유한한 쿼크 질량을 다룰 수 있도록 한다. $\bar{\text{MS}}$는 쿼크 질량 스케일 이하에서는 온셸프(On-shell)로, 이하에서는 $\bar{\text{MS}}$로 혼합된 재정규화 체계를 사용함으로써, 큰 로그의 일관된 재정렬과 질량이 있는 경우와 질량이 없는 경우 사이의 매끄러운 보간을 보장한다. 임계값 보정은 인과성 정리들 사이의 연속성을 확보한다.

ABSTRACT

We discuss a variable flavor number scheme (VFNS) for final state jets which can account for the effects of arbitrary finite quark masses in inclusive jet observables. The scheme is a generalization of the VFNS scheme for PDFs applied to setups with additional dynamical scales and relies on appropriate renormalization conditions for the matrix elements in the factorization theorem. We illustrate general properties by means of the example of deep-inelastic scattering (DIS) in the endpoint region $x ightarrow 1$ and event shapes in the dijet limit, in particular the calculations of threshold corrections, consistency conditions and relations to mass singularities found in fixed-order massive calculations.

연구 동기 및 목표

• 포함형 제트 관측량에서 임의의 유한한 쿼크 질량을 일관되게 다룰 수 있는 유연한 쿼브의 수 기준 체계(VFNS)를 개발하는 것.
• 질량이 있는 쿼크의 경우, 질량이 큰 경우의 분리한계(m ≫ Q)와 질량이 없는 경우의 한계(m ≪ Q) 사이에서 스킴이 매끄럽게 보간되도록 보장하는 것.
• 특히 쿼크 질량 임계점 근처에서 다양한 에너지 스케일 간의 재정규화 및 재정규화군(RGE) 진동이 일관되게 유지되도록 보장하는 것.
• 질량이 있는 쿼크를 포함한 인과성 정리에서 하드 함수, 제트 함수, PDF 함수 간의 일관성 조건을 유도하고 검증하는 것.
• 이벤트 형태, 특히 이제트 한계에서의 $e^+e^-$ 충돌에 대해 VFNS 프레임워크를 확장하여 질량이 있는 쿼크 기여를 고려하는 것.

제안 방법

• 쿼크 질량 스케일 $\mu_m \sim m$ 이하에서는 $\bar{\text{MS}}$를, 이하에서는 온셸프(On-shell)를 사용하는 하이브리드 재정규화 체계를 도입하여, UV 및 IR 발산을 일관되게 다루는 것.
• 하드 함수 $H_{\text{DIS}}$, 제트 함수 $J_{\text{DIS}}$, PDF $f_{i/P}$에 대해 별도의 재정규화 조건을 설정하여, 전체 QCD와 효과 이론 간의 IR 민감한 항이 상쇄되도록 보장하는 것.
• 다른 스케일에서의 인과성 정리 간 전이를 다스리기 위해 질량이 있는 임계값 보정 $\mathcal{M}_H$, $\mathcal{M}_J$, $\mathcal{M}_f$를 도입하여 연속성을 확보하는 것.
• 부드러운-결합 효과 이론(SCET)을 사용하여, DIS의 $x \to 1$ 영역과 $e^+e^-$ 충돌의 $\tau \to 0$ 영역에서 포함형 제트 관측량의 인과성 정리를 유도하는 것.
• 재정규화군(RGE) 진동을 통해 매칭된 결과에서 유도된 일관성 관계 $\mathcal{M}_H(m,\mu) \times \mathcal{M}_J(m,\mu) = \mathcal{M}_f(m,\mu)$를 수립하는 것.
• 이 스킴을 $e^+e^-$ 충돌에서의 이벤트 형태, 특히 스러스트(thrust)에 적용하여, 부드러운 함수가 질량이 있는 쿼크에 의해 수정되는 것을 고려하고, $m \ll Q\tau$일 때 질량이 없는 한계로 수렴하는 지를 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 쿼크 질량이 유한하고 비영일 경우, 포함형 제트 관측량에 대해 유연한 쿼브의 수 기준 체계(VFNS)를 어떻게 일관되게 구성할 수 있는가?
• RQ2 인과성 정리에서 질량이 있는 쿼크와 질량이 없는 쿼크의 한계 사이에서 매끄러운 보간을 보장하기 위해 필요한 재정규화 조건는 무엇인가?
• RQ3 재정규화군(RGE) 진동 하에서 하드, 제트, PDF 함수의 임계값 보정 상호간의 관계는 어떻게 되는가?
• RQ4 쿼크 질량 스케일 $\mu_m \sim m$는 인과성 정리의 구조와 부분자 분포의 진동에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 VFNS는 $e^+e^-$ 충돌의 이벤트 형태, 특히 이제트 한계로까지 확장될 수 있는가? 질량이 있는 쿼크가 부드러운 함수와 제트 함수에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 제안된 VFNS 스킴은 $\bar{\text{MS}}$와 온셸프 재정규화를 질량 스케일 $\mu_m \sim m$에서 조합하여, 포함형 제트 관측량에서 임의의 유한한 쿼크 질량을 성공적으로 고려한다.
• 임계값 보정 $\mathcal{M}_H$, $\mathcal{M}_J$, $\mathcal{M}_f$는 $n_l$에서 $n_l+1$개의 활성 쿼브로의 전이 시 인과성 정리의 연속성을 보장하며, 모든 순서에서 $\mathcal{M}_H \times \mathcal{M}_J = \mathcal{M}_f$가 성립한다.
• 이 스킴은 $m \gg Q$일 때 올바른 분리한계를 회복하고, $m \ll Q$일 때 질량이 없는 한계로 수렴하며, 큰 질량 계차가 있는 경우에도 매끄러운 보간이 이루어진다.
• DIS의 $x \to 1$ 영역에서, 하드 함수와 제트 함수를 수정하여 질량이 있는 쿼크 효과를 포함한 인과성 정리가 일반화된다. $J_{\text{DIS}}^{(n_l+1)}(m,\mu_J)$는 $m \to 0$일 때 질량이 없는 한계로 수렴한다.
• $e^+e^-$ 충돌에서의 이벤트 형태, 특히 스러스트에 대해, $\mu_S \sim Q\tau > m$일 때 전체적으로 $\bar{\text{MS}}$ 재정규화를 사용하여 임계값 보정을 피하고, 소프트 함수는 질량이 있는 보정을 포함하며, $m \ll Q\tau$일 때 질량이 없는 경우로 수렴한다.
• 명시적 매칭과 RGE 일관성 검증을 통해 스킴의 일관성이 입증되었으며, 임계값 보정은 로그 수량 $\alpha_s \ln(1-x) \sim 1$ 기준으로 $\mathcal{O}(\alpha_s^2)$까지 결정되었다.