[논문 리뷰] Variations and estimators for the selfsimilarity order through Malliavin calculus

Ciprian A. Tudor, Frédéri Viens|arXiv (Cornell University)|2007. 09. 25.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 23인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 마리안 근사법과 다중 확률적 적분을 사용하여 비정규 분포를 따르는 로젠블라트 과정의 이차 변동성을 분석하고, 자기유사성 매개수 $ H $ 를 강력하게 일致하는 추정기들을 도출한다. 주요 기여는 $ H \in (1/2, 2/3) $ 에서 비록 표준 추정기의 극한 분포가 비정규 분포임에도 불구하고 정규 분포를 갖는 새로운 보정 추정기의 제안이다.

ABSTRACT

Using multiple stochastic integrals and the Malliavin calculus, we analyze the asymptotic behavior of quadratic variations for a specific non-Gaussian self-similar process, the Rosenblatt process. We apply our results to the design of strongly consistent statistical estimators for the self-similarity parameter $H$. Although, in the case of the Rosenblatt process, our estimator has non-Gaussian asymptotics for all $H>1/2$, we show the remarkable fact that the process's data at time 1 can be used to construct a distinct, compensated estimator with Gaussian asymptotics for $H\in(1/2,2/3)$.

연구 동기 및 목표

• 비정규 분포를 따르는 로젠블라트 과정의 자기유사성 매개수 $ H $ 를 위한 통계적 추정기들을 이차 변동성 기반으로 개발하기.
• 마리안 근사법과 다중 확률적 적분을 활용하여 이러한 추정기의 점근적 분포를 분석하기.
• 기초 과정이 비정규 분포임에도 불구하고 추정기의 정규 점근적 행동을 보이게 되는 조건을 규명하기.
• 표준 추정기의 비정규 극한 분포와 대비하여 $ H \in (1/2, 2/3) $ 에서 정규 극한 분포를 갖는 보정 추정기를 구성하기.

제안 방법

• 자기유사성 매개수 $ H \in (1/2, 1) $ 를 갖는 $ q=2 $ 헤르미트 과정으로서 로젠블라트 과정을 표현하기 위해 다중 위너–이토 확률적 적분을 적용하기.
• 샘플링 주파수가 증가함에 따라 로젠블라트 과정의 이차 변동성의 점근적 행동을 연구하기 위해 마리안 근사법을 적용하기.
• 정규화된 변동 과정의 수렴 분포를 판단하기 위해 누알라르트–오르티즈 라토레 기준을 사용하기.
• 표준 변동 통계량을 조정하여 극한에서 비정규 성분을 상쇄시키는 보정 추정기를 유도하기.
• 생성 함수 $ G $ 의 이阶 테일러 전개를 분석하여 변동 과정의 공분산 구조를 기술하기.
• 조정된 변동이 $ H \in (1/2, 2/3) $ 일 때에만 정규 분포로 수렴함을 입증하며, 이는 네 번째 차수의 카오스 성분의 $ L^2 $-노름 행동에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 로젠블라트 과정의 이차 변동성을 사용하여 자기유사성 매개수 $ H $ 를 일致하게 추정할 수 있는가?
• RQ2 로젠블라트 과정의 표준 이차 변동 추정기의 점근적 분포는 무엇이며, 이는 $ H $ 에 따라 달라지는가?
• RQ3 이차 변동 추정기의 보정된 형태를 구성하여 정규 점근적 분포를 얻을 수 있는가?
• RQ4 어느 $ H \in (1/2, 1) $ 값에서 보정된 추정기가 정규 극한 분포를 갖는가?
• RQ5 로젠블라트 과정의 카오스 전개의 구조는 그 기반으로 한 추정기의 수렴 성질에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모든 $ H > 1/2 $ 에서 비정규 분포를 따르는 네 번째 차수의 카오스 성분이 존재하기 때문에, 로젠블라트 과정의 표준 이차 변동 추정기의 점근적 분포는 비정규 분포이다.
• 비정규 성분이 이 범위에서 사라지기 때문에, 보정된 추정기는 $ H \in (1/2, 2/3) $ 일 때에만 정규 점근적 분포를 갖는다.
• 보정된 추정기의 점근적 분산은 0보다 크며 $ H $ 에 따라 달라지므로, 이 범위 내에서 일致한 추정이 보장된다.
• 생성 함수 $ G $ 의 0 근처에서의 이阶 테일러 전개를 통해 헤시안 행렬이 $ H > 1/2 $ 에서 정의된 양의 정부호임을 확인하여, 비퇴화된 극한 분포의 존재를 뒷받침한다.
• $ H \geq 2/3 $ 일 때, $ \|g_N \otimes_1 g_N\|_{L^2([0,1]^2)}^2 $ 의 $ L^2 $-노름이 0으로 수렴하지 않아 정규 분포로의 수렴이 불가능하다.
• $ H \in (1/2, 2/3) $ 일 때, 테일러 전개의 혼합 미분 항들이 정규 극한을 방해하지 않으며, 이로 인해 조정된 추정기는 점근적으로 정규 분포를 따른다.