[논문 리뷰] Variations around Eagleson's Theorem on mixing limit theorems for dynamical systems

Sébastien Gouëzel|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 30.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 5인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 에글슨의 정리(Eagleson's Theorem)를 두 가지 새로운 설정으로 확장한다: 거의 확실히 성립하는 극한정리와 혼합 동역계에서의 공동 조건부 조건. 에르고딕이고 비특이적인 사상에 대해, 절대 연속 측도는 궤도를 따라 쌍화될 수 있으며, 이는 거의 확실히 성립하는 극한정리가 불변 측도와 절대 연속 측도 간에 전이됨을 보장한다. 혼합 시스템의 경우, 시간이 충분히 분리되어 있을 때, 빈도수 합의 분포 수렴이 초기 위치와 최종 위치에 대한 공동 조건부 조건에서도 유지됨을 입증한다.

ABSTRACT

Eagleson's Theorem asserts that, given a probability-preserving map, ifrenormalized Birkhoff sums of a function converge in distribution, thenthey also converge with respect to any probability measure which isabsolutely continuous with respect to the invariant one. We prove a versionof this result for almost sure limit theorems, extending results ofKorepanov. We also prove a version of this result, in mixing systems, whenone imposes a conditioning both at time 0 and at time n.

연구 동기 및 목표

• 동역계에서 절대 연속 측도 간에 거의 확실히 성립하는 극한정리의 일반적인 쌍화 원리를 수립하기 위해.
• 에글슨의 정리가 직접 적용되지 않는 경우, 불변 측도에서 절대 연속 측도로 거의 확실히 성립하는 불변 원리의 확장을 해결하기 위해.
• 혼합 시스템에서 궤도의 시간 0과 시간 n에서의 상태에 대해 동시에 조건부 조건을 부여할 때, 빈도수 합의 분포 수렴이 유지되는지 조사하기 위해.
• 관측 시간이 분리되어 있을 때, 혼합 시스템에서 고차 조건부 조건에 대한 에글슨 유형 수렴을 일반화하기 위해.
• 기본 측도(예: 르베그 측도)가 불변 측도와 다를 수 있는 물리적 시스템에서 극한정리의 적용을 위한 이론적 기반을 제공하기 위해.

제안 방법

• σ-유한하고 비특이적이며 에르고딕한 측도 µ에 대해 절대 연속인 두 확률 측도 사이에 궤도를 따라 쌍화를 도입하며, 전이 연산자와 L1 수렴에 관한 요시다의 정리(Yosida's Theorem)를 사용한다.
• 시간 평균 전이 연산자의 L1 수렴에 기반하여, 밀도의 겹침이 점점 증가하는 측도들을 반복적으로 쌍화하는 구성 방법을 적용한다.
• 혼합 시스템의 경우, 혼합 성질을 이용하여 관측량 ϕ1 ◦T^j와 ϕ2 ◦T^{n+j}의 시간 평균 곱이 L2 수렴으로 그 적분의 곱으로 수렴함을 보인다.
• 레마 2.3를 통한 텔레스코픽 추론을 사용하여, 관측량 ϕ1을 T로 이동시키는 것이 g(Snf/Bn)ϕ2 ◦T^n의 적분에 영향을 주지 않음을 보이며, 이는 |f ◦T^n - f|/Bn의 감쇠성에 기반한다.
• 평균화 기법을 적용: 적분을 k번의 이동에 대한 평균으로 대체하고, 혼합 조건 하에서 L2 노름 추정을 통해 이를 균일하게 작게 유지한다.
• p차 혼합과 p개의 관측량 곱의 시간 평균이 그 적분의 곱으로 수렴하는 것을 이용하여 결과를 p중 조건부 조건으로 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비특이적이고 에르고딕한 사상에 대해, 예를 들어 거의 확실히 성립하는 불변 원리와 같은 거의 확실히 성립하는 극한정리가 불변 측도에서 임의의 절대 연속 측도로 전이될 수 있는가?
• RQ2 혼합 시스템에서 궤도의 초기 위치와 최종 위치에 대해 동시에 조건부 조건을 부여할 경우, 정규화된 빈도수 합의 수렴이 유지되는가?
• RQ3 여러 개의 분리된 시간에 대해 공동 조건부 조건을 부여할 때, 빈도수 합의 수렴 분포를 유지하는 데 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ4 여러 조건부 조건점 또는 거의 확실히 성립하는 수렴을 포함하는 설정으로 고전적인 에글슨 정리를 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ5 혼합 성질은 극한정리에서 분리된 시간에 있는 관측량의 공동 분포를 그 주변 분포의 곱으로 근사하는 데 얼마나 기여하는가?

주요 결과

• 모든 에르고딕이고 비특이적인 사상과 σ-유한한 불변 측도 µ에 대해 절대 연속인 임의의 두 확률 측도에 대해, 궤도를 따라 쌍화가 존재하며, 이는 거의 확실히 성립하는 극한정리가 이 측도들 간에 전이됨을 보장한다.
• f(T^n x) = o(r(n)) m-거의 확실히 성립할 조건 하에서, Birkhoff 합 Snf는 임의의 절대 연속 측도 m′ 하에서 속도 r(n)로 브라운 운동과 쌍화될 수 있으며, 이는 거의 확실히 성립하는 불변 원리의 확장이다.
• 혼합 시스템에서, Bn → ∞ 이고 ϕ1, ϕ2가 유계이면서 L2에 속할 경우, 정규화된 Birkhoff 합 Snf/Bn은 측도 mn(U) = ∫_U ϕ1(x)ϕ2(T^n x) dm(x) 하에서 Z로 분포 수렴한다.
• ϕ2의 평균이 0이면, ∫ ϕ1 g(Snf/Bn) ϕ2 ◦T^n dm → (∫ϕ1)(∫ϕ2)E(g(Z)) 이며, 이 증명은 혼합 조건 하에서 시간 평균 곱의 L2 작소성에 기반한다.
• p차 혼합 시스템에서, 모든 시간 간격 n_{i+1} - n_i → ∞ 이면, 공동 적분 ∫ ∏ϕi ◦T^{n_i} g(Fn) dm 은 ∏(∫ϕi) E(g(Z)) 로 수렴한다.
• ϕ1과 ϕ2가 비음이 아니어도 결과는 성립한다. 먼저 평균을 빼고, 선형성과 밀도 추론에 의해 평균이 0인 경우가 충분함을 이용한다.