[논문 리뷰] Variations on branching methods for non linear PDEs

Xavier Warin|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 26.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 7인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 분산 감소 기법을 사용한 몬테카를로 시뮬레이션을 통해 고차원의 반선형 및 완전 비선형 PDE를 해결하기 위한 향상된 분기 방법을 제안한다. 새로운 역방향 재귀 구조와 반대변수를 활용함으로써 저자들은 분기 과정의 적용 가능성을 더 긴 만기 및 더 복잡한 비선형성으로 확장하였으며, 수치적 분산을 크게 감소시키면서도 계산 비용과 메모리 사용량을 증가시켰다.

ABSTRACT

The branching methods developed are effective methods to solve some semi linear PDEs and are shown numerically to be able to solve some full non linear PDEs. These methods are however restricted to some small coefficients in the PDE and small maturities. This article shows numerically that these methods can be adapted to solve the problems with longer maturities in the semi-linear case by using a new derivation scheme and some nested method. As for the case of full non linear PDEs, we introduce new schemes and we show numerically that they provide an effective alternative to the schemes previously developed.

연구 동기 및 목표

• 기존의 분기 방법이 더 긴 만기 및 더 큰 비선형 계수를 가진 비선형 PDE를 해결하는 데 한계를 보이는 문제를 해결한다.
• 결정론적 방법이 실패하는 고차원 PDE에서의 차원의 극복 문제를 해결한다.
• 반선형 및 완전 비선형 PDE의 몬테카를로 기반 해법에서 수렴성을 향상시키고 분산을 감소시키는 새로운 수치적 스킴을 개발한다.
• 고차원에서 조건부 기대값 근사에 대한 회귀 기반 방법의 실용적이고 확장 가능한 대안을 제공한다.
• 반대변수와 중첩된 역방향 재귀가 함수 및 도함수 평가의 수치 오차를 감소시키는 데 얼마나 효과적인지 시험한다.

제안 방법

• 긴 만기 반선형 PDE에서의 안정성과 분산 제어를 향상시키기 위해 새로운 역방향 재귀 구조를 도입한다.
• 유령 입자 표현에 반대변수를 적용하여 조건부 기대값의 몬테카를로 추정에서 분산을 감소시킨다.
• 이阶 도함수를 포함하는 비선형 항을 더 잘 처리하기 위해 이阶 역방향 재귀 구조를 사용한다.
• 특히 더 큰 비선형성에서 분산을 안정화시키기 위해 재정규화 기법을 구현한다.
• 원래의 분기 방법을 [9, 11]에서 수정하여 입자 분할 및 가중치 규칙을 조정함으로써 수치적 강건성을 향상시킨다.
• 역방향 확률적 표현을 통해 PDE 해를 확률 과정과 연결하기 위해 후방 확률 미분 방정식(BSDEs)과 이阶 후방 확률 미분 방정식(SOBSDEs)을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존 방법의 한계를 넘어서 더 긴 만기의 반선형 PDE를 해결하기 위해 분기 방법을 확장할 수 있는가?
• RQ2 반대변수와 중첩된 역방향 재귀는 비선형 PDE 해의 몬테카를로 추정에서 분산 감소에 얼마나 효과적인가?
• RQ3 제안된 스킴은 고차원 비선형 PDE에 대해 회귀 기반 방법의 안정적이고 정확한 대안이 될 수 있는가?
• RQ4 새로운 분기 스킴에서 계산 비용, 메모리 사용량, 분산 감소 사이의 상충 관계는 어떠한가?
• RQ5 새로운 스킴은 고차원 환경에서 해와 그 도함수의 추정에 얼마나 잘 작동하는가?

주요 결과

• 새로운 역방향 재귀 구조는 원래 방법의 범위를 크게 초월하여 만기까지 1.5까지의 반선형 PDE를 해결할 수 있도록 했다.
• 반대변수 기반 스킴(버전 3)은 모든 시험 케이스에서 가장 낮은 분산을 달성하여 원래 스킴과 이阶 재귀 스킴을 모두 앞섰다.
• 차원 d=4와 T=1일 때 분석적 해는 u(0,0.51) = -0.50828였고, 반대변수 스킴은 이 값에 매우 가까운 결과를 낮은 오차로 도출하였다.
• d=6, T=1일 때 분석적 해는 u(0,0.51) = -1.20918였고, 반대변수 스킴은 차원 증가에도 불구하고 양호한 정확도를 유지하였다.
• 함수 평가에 비해 (1·Du)를 통한 도함수 추정은 약간의 정확도 저하를 보였지만, 모든 스킴에서 신뢰할 수 있는 결과를 제공하였다.
• 메모리 비용은 유령 표현의 차수에 따라 증가하였고, 특히 반대변수 스킴에서 두드러졌지만, 이는 상당한 분산 감소로 상쇄되었다.