[논문 리뷰] Vector-valued Littewood-Paley-Stein theory for semigroups II

Quanhua Xu|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 14.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 25인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 대칭 확산 세미군과 그 이산적 유사체에 대해 벡터 값 Littlewood-Paley-Stein 이론에서 오랫동안 미해결된 문제를 해결한다. Hyt{"o}nen과 Naor의 방법을 새로운 방식으로 응용하여, 모든 $1 < p < \infty$ 및 균일하게 볼록한 바나흐 공간 $X$에 대해 대칭 마코프 연산자 $T$ 가 $L_p(\Omega;X)$ 에 해석적임을 증명하고, 마팅게일 코타입 및 타입 성질에 기반한 고차 도함수의 $L_p$ 유계성 상한을 확립한다.

ABSTRACT

Inspired by a recent work of Hytönen and Naor, we solve a problem left open in our previous work joint with Mart\'ınez and Torrea on the vector-valued Littlewood-Paley-Stein theory for symmetric diffusion semigroups. We prove a similar result in the discrete case, namely, for any $T$ which is the square of a symmetric Markovian operator on a measure space $(Ω, μ)$. Moreover, we show that $T\otimes{ m Id}_X$ extends to an analytic contraction on $L_p(Ω; X)$ for any $1

연구 동기 및 목표

• 원래의 대칭 확산 세미군 $\{T_t\}_{t>0}$ 에 대해 스토프의 부등식이 그의 피조된 포아송 세미군이 아닌 원래 형태로도 성립하는지 여부에 관한 벡터 값 Littlewood-Paley-Stein 이론의 열린 문제를 해결하는 것.
• 측도 공간에서 대칭 마코프 연산자의 제곱인 연산자 $T$ 에 대해 이론을 이산 설정으로 확장하여 유사한 부등식을 증명하는 것.
• $T \otimes \mathrm{Id}_X$ 가 모든 $1 < p < \infty$ 및 임의의 균일하게 볼록한 바나흐 공간 $X$ 에 대해 $L_p(\Omega;X)$ 에 해석적 수축으로 확장됨을 증명하는 것.
• 대상 바나흐 공간 $X$ 의 마팅게일 코타입 및 타입 성질에 따라 제곱 함수 $\left(\int_0^\infty \|t^k \partial^k T_t f\|_X^q \frac{dt}{t}\right)^{1/q}$ 의 유계성 조건을 기술하는 것.

제안 방법

• Hyt{"o}nen과 Naor의 최근 작업에서 중요한 아이디어를 빌려와, 그 방법을 벡터 값 설정과 이산 경우로 확장하는 것.
• Stein의 복소 보간 기법을 적용하여 끝점 경우의 유계성 결과를 전체 범위 $1 < p < \infty$ 로 확장하며, [15]의 핵심 보조정리의 이산 유사체를 사용한다.
• 자기수반 수축의 스펙트럼 이론과 Katznelson-Tzafriri 정리를 활용하여 스펙트럼 조건 하에서 $T$ 가 $L_p(\Omega;X)$ 에서 해석적임을 증명하는 것.
• Littlewood-Paley-Stein 부등식에서 연속 제곱 함수의 이산적 유사체로 이산 제곱 함수 $\left(\sum_{n=1}^\infty n^{q-1} \| (T^n - T^{n-1})f \|_X^q \right)^{1/q}$ 를 사용하는 것.
• 마팅게일 코타입 $q$ 와 타입 $q'$ 간의 딱 두 성질의 이중성에 의존하며, $X$ 가 마팅게일 코타입 $q$ 이다 ↔ $X^*$ 가 마팅게일 타입 $q'$ 임을 이용한다.
• 복소 보간을 적용하여 힐베르트 공간을 목표로 하는 해석성 결과를 힐베르트 공간과 다른 UMD 공간 사이의 복소 보간 공간으로 확장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 바나흐 공간 목표에 대해 원래의 대칭 확산 세미군 $\{T_t\}_{t>0}$ 에 대해 벡터 값 Littlewood-Paley-Stein 부등식이 포아송 피조된 세미군이 아닌 원래 형태로도 성립하는가?
• RQ2 이론을 이산 설정으로 확장할 수 있는가? 특히 대칭 마코프 연산자의 제곱인 연산자 $T$ 에 대해 마팅게일 코타입 및 타입에 기반한 낼맞는 $L_p$ 유계성 상한을 갖는가?
• RQ3 균일하게 볼록한 바나흐 공간 $X$ 이면, 대칭 마코프 연산자 $T$ 가 $L_p(\Omega;X)$ 에 모든 $1 < p < \infty$ 에 대해 해석적으로 확장되는가?
• RQ4 이산 제곱 함수 $\left(\sum_{n=1}^\infty n^{q-1} \| (T^n - T^{n-1})f \|_X^q \right)^{1/q}$ 는 마팅게일 코타입 $q$ 인 $X$ 에 대해 $\|f\|_{L_p(\Omega;X)}$ 와 등가적인 $L_p$-유계성 부등식을 만족하는가?
• RQ5 결과들이 K-볼록한 바나흐 공간 목표 또는 UMD 공간으로 확장될 수 있는가? 특히 이산 설정에서 그러한 확장을 위한 틀을 제공하는가?

주요 결과

• 이 논문은 임의의 균일하게 볼록한 바나흐 공간 $X$ 에 대해, 모든 $1 < p < \infty$ 에 대해 $T \otimes \mathrm{Id}_X$ 가 $L_p(\Omega;X)$ 에 해석적 수축으로 확장됨을 증명하며, 핵심적인 해석성 문제를 해결한다.
• 모든 $1 < p < \infty$ 와 마팅게일 코타입 $q$ (여기서 $2 \leq q < \infty$) 인 $X$ 에 대해, 부등식 $\left\| \left( \int_0^\infty \| t^k \partial^k T_t f \|_X^q \frac{dt}{t} \right)^{1/q} \right\|_{L_p(\Omega)} \leq C \|f\|_{L_p(\Omega;X)}$ 가 성립하며, 여기서 $C$ 는 $p$, $q$, $k$, 및 $X$ 의 코타입 상수에만 의존한다.
• 이산 경우에서, $T$ 가 대칭 마코프 연산자의 제곱이고 $X$ 가 마팅게일 코타입 $q$ 이면, 모든 $1 < p < \infty$ 에 대해 부등식 $\left\| \left( \sum_{n=1}^\infty n^{q-1} \| (T^n - T^{n-1})f \|_X^q \right)^{1/q} \right\|_{L_p(\Omega)} \lesssim \|f\|_{L_p(\Omega;X)}$ 가 성립하며, 암시된 상수는 $p$, $q$, 및 코타입 상수에만 의존한다.
• 논문은 이산 제곱 함수 부등식이 복소 보간을 통해 연속적 경우로 이르는 것을 증명하며, 그 반대도 마찬가지로 성립함을 보이며, [15]의 핵심 보조정리의 이산 유사체를 사용한다.
• Hilbert 공간과 다른 UMD 공간 사이의 복소 보간 공간인 $X$ 에 대해, Stein의 보간법과 Katznelson-Tzafriri 정리를 활용하여 모든 $1 < p < \infty$ 에 대해 $T$ 가 $L_p(\Omega;X)$ 에서 해석적임을 증명한다.
• 논문은 결과들이 K-볼록 목표나 UMD 공간으로 확장되는지 여부는 열려 있지만, 특히 이산 설정에서 이러한 확장을 위한 틀을 제공한다.