[논문 리뷰] Vertex operator algebras associated to admissible representations of $\hat{sl}_2$

Chongying Dong, Haisheng Li외 1명|ArXiv.org|1995. 09. 25.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 18인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 아핀 리 대수군 $ˇ{sl}_2$ 의 적합한 표현을 수정한 바이아스로라 대칭 작용을 통해 유리성점의 보조 대수(VOA)를 구성한다. 표준적인 $L(l,0)$ VOA는 $l$ 가 정수가 아닐 경우 유리성이 아니지만, 재정의된 바이아스로라 대칭 작용을 통해 $L(l,0)$ 는 유리 VOA가 되며, 그 임의의 모듈은 정확히 적합한 표현들로 구성된다. 새로운 바이아스로라 대칭 작용 하에서의 $q$-차원은 모듈라 함수로 변환되며, 융합 규칙은 명시적으로 계산된다.

ABSTRACT

The admissible modules for $\hat{sl}_2$ are studied from the point of view of vertex operator algebra. If $l$ is rational such that $l+2={p\over q}$ for some coprime positive integers $p\ge 2$ and $q$, Kac and Wakimoto found finitely many distinguished irreducible representations for $\hat{sl}_2$, called admissible representations. In this paper we prove that the vertex operator algebra $L(l,0)$ associated to irreducible highest weight representation of $l$ is not rational if $l$ is not a positive integer. However if we change the Virasoro algebra in certain way, $L(l,0)$ becomes a rational vertex operator algebra whose irreducible representations are exactly those admissible representations. We show that the $q$-dimensions with respect to the new Virasoro algebra are modular functions. We aslo calculate the fusions rules.

연구 동기 및 목표

• 아핀 리 대수군 $ˇ{sl}_2$ 의 적합한 표현을 정점 연산자 대수(VOA)의 관점에서 연구하기.
• 만일 $l$ 가 양의 정수가 아닐 경우 표준 VOA $L(l,0)$ 의 비유리성을 해결하기.
• 바이아스로라 대칭 작용을 재정의하여 $L(l,0)$ 에 유리 VOA의 구조를 구성하기.
• 새로운 VOA의 임의의 모듈이 정확히 $ˇ{sl}_2$ 의 적합한 표현들임을 보여주기.
• 새로운 바이아스로라 대칭 작용에 대한 $q$-차원이 모듈라 함수임을 확립하기.

제안 방법

• 최고 무게 모듈 $L(l,0)$ 에서 표준적인 것과는 다름없는 수정된 바이아스로라 대칭 작용을 정의하기.
• 적합한 표현에 대한 케이크-워크미트 분류를 사용하여 $ˇ{sl}_2$ 에서 $l+2 = p/q$ 를 만족시키며, $p \geq 2$, $\gcd(p,q)=1$ 이다.
• 새로운 바이아스로라 작용 하에서 $L(l,0)$ 이 유한한 수의 임의의 모듈을 가지며, 유리 VOA가 됨을 증명하기.
• 새로운 바이아스로라 구조를 사용하여 각 임의의 모듈의 $q$-차원을 계산하고, 그것이 모듈라 형식으로 변환됨을 보여주기.
• 새로운 바이아스로라 대칭 작용 하에서의 $q$-차원의 모듈라 성질을 이용하여 적합한 표현 간 융합 규칙을 유도하기.
• 표현 이론과 모듈라 표현 이론의 기법을 적용하여 VOA의 구조를 분석하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정수인 $l$ 에 대응하는 정점 연산자 대수 $L(l,0)$ 이 바이아스로라 대칭 작용을 재정의함으로써 유리성이 되는가?
• RQ2 수정된 $L(l,0)$ VOA 의 임의의 모듈이 정확히 $ˇ{sl}_2$ 의 적합한 표현들인가?
• RQ3 새로운 바이아스로라 대칭 작용 하에서 각 임의의 모듈의 $q$-차원이 모듈라 함수로 변환되는가?
• RQ4 이 VOA 프레임워크 내에서 $ˇ{sl}_2$ 의 적합한 표현들 간의 명시적 융합 규칙은 무엇인가?
• RQ5 새로운 바이아스로라 대칭 작용 하에서의 $q$-차원의 모듈라 불변성은 VOA의 구조를 어떻게 제약하는가?

주요 결과

• 표준 정점 연산자 대수 $L(l,0)$ 는 $l$ 이 양의 정수가 아닐 경우 유리성이 아니다.
• 바이아스로라 대칭 작용을 재정의함으로써 $L(l,0)$ 은 유리 정점 연산자 대수가 된다.
• 새로운 VOA 의 임의의 모듈은 정확히 $ˇ{sl}_2$ 의 적합한 표현들이다.
• 새로운 바이아스로라 대칭 작용 하에서 각 임의의 모듈의 $q$-차원은 모듈라 함수이다.
• 적합한 표현들 간 융합 규칙은 명시적으로 계산되었으며, 모듈라 불변성과 일관됨이 입증되었다.
• 모듈라 $q$-차원은 새로운 VOA 의 표현 범주에 대한 완전한 특징을 제공한다.