[논문 리뷰] Warped cones, (non-)rigidity, and piecewise properties, with a joint appendix with Dawid Kielak

Damian Sawicki|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 10.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 34인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 상자 공간의 경우와는 달리, 비틀린 콘 사이의 준등거리사상이 그 기저가 되는 군 사이의 준등거리사상을 유도하지는 않음을 입증한다. 이는 군 불변량—예를 들어 점점 가까워지는 차원, 성질 A, 코arse 임bedding—을 비틀린 콘 구성법을 통해 특성화하기 위해 조각별 기하적 성질을 도입하며, 군 작용에 대한 비틀린 콘의 점점 가까워지는 차원이 군의 점점 가까워지는 차원과 공간의 위상 차원에 따라 결정되는 Z의 거듭제곱을 곱한 것과 같음을 증명한다.

ABSTRACT

We prove that if a quasi-isometry of warped cones is induced by a map between the base spaces of the cones, the actions must be conjugate by this map. The converse is false in general, conjugacy of actions is not sufficient for quasi-isometry of the respective warped cones. For a general quasi-isometry of warped cones, using the asymptotically faithful covering constructed in a previous work with Jianchao Wu, we deduce that the two groups are quasi-isometric after taking Cartesian products with suitable powers of the integers. Secondly, we characterise geometric properties of a group (coarse embeddability into Banach spaces, asymptotic dimension, property A) by properties of the warped cone over an action of this group. These results apply to arbitrary asymptotically faithful coverings, in particular to box spaces. As an application, we calculate the asymptotic dimension of a warped cone, improve bounds by Szabó, Wu, and Zacharias and by Bartels on the amenability dimension of actions of virtually nilpotent groups, and give a partial answer to a question of Willett about dynamic asymptotic dimension. In the appendix, we justify optimality of the aforementioned result on general quasi-isometries by showing that quasi-isometric warped cones need not come from quasi-isometric groups, contrary to the case of box spaces.

연구 동기 및 목표

• 비틀린 콘 사이의 준등거리사상이 기저가 되는 군과 작용의 구조적 성질을 얼마나 반영하는지 조사하기 위해.
• 비틀린 콘 사이의 준등거리사상이 작용하는 군 사이의 준등거리사상, 공명성, 또는 동형사상임을 의미하는지 여부를 다루며, 이를 부정적으로 답변한다.
• 기하적 성질의 '조각별' 버전(예: 점점 가까워지는 차원, 성질 A, 코arse 임bedding)을 개발하고 적용하여 군 불변량과 비틀린 콘 및 상자 공간의 거리 성질을 연결한다.
• 군의 점점 가까워지는 차원과 공간의 위상 차원을 사용하여 비틀린 콘의 점점 가까워지는 차원을 정확히 계산한다.
• 윌릿의 다이나믹 점점 가까워지는 차원 질문에 부분적인 해결책을 제공하고, 거의 아벨 군 작용의 가소성 차원에 대한 기존의 한계를 향상시킨다.

제안 방법

• 비틀린 콘과 상자 공간의 거리 불변량을 포착하기 위해 '조각별' 기하적 성질(예: 조각별 성질 A, 조각별 점점 가까워지는 차원)의 개념을 도입한다.
• [SW]의 점점 충실한 커버링 구성법을 사용하여 비틀린 콘의 성질를 군과 그 작용의 성질과 연결한다.
• 비틀린 콘 구성법을 컴acts metric 공간, 특히 다양체와 프로파일 완비화에 대한 작용에 적용하여 거리 불변량을 도출한다.
• 중국인의 나머지 정리와 디오판틴 방정식 근사 기법을 활용하여, 서로 동형이 아닌 비슷한 준등거리사상의 비틀린 콘을 유도하는 비가산 많은 작용을 구성한다.
• 비-리프시츠 등가와 거리 척도 조정 기법을 사용하여 토러스와 구면 위의 비틀린 거리 척도를 비교하고, 특정 비틀린 콘 사이의 준등거리사상을 확립한다.
• 기하군론의 결과, 특히 코어스 임베딩 이론과 점점 가까워지는 차원 이론을 활용하여 정량적 한계를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비틀린 콘 사이의 준등거리사상이 작용하는 군 사이의 준등거리사상을 의미하는가?
• RQ2 군의 기하적 성질(예: 점점 가까워지는 차원, 성질 A, 코어스 임베딩 가능성)은 그 비틀린 콘의 조각별 성질을 통해 특성화될 수 있는가?
• RQ3 군 작용에 대한 비틀린 콘의 정확한 점점 가까워지는 차원은 무엇이며, 군의 점점 가까워지는 차원과 공간의 위상 차원과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 비틀린 콘 사이의 준등거리사상이 작용하는 군의 공명성 또는 동형사상을 의미하는가?
• RQ5 작용의 다이나믹 점점 가까워지는 차원(가소성 차원)은 군의 점점 가까워지는 차원과 공간의 위상 차원을 기반으로 한계를 가질 수 있는가?

주요 결과

• 비틀린 콘 사이의 준등거리사상이 작용하는 군 사이의 준등거리사상을 유도하지는 않으며, 서로 다른 랭크의 격자에 의한 자유 작용의 반례가 존재한다.
• 비틀린 콘 ${\mathcal{O}}_{\Gamma}Y$의 점점 가까워지는 차원은 $\operatorname{asdim} \Gamma \times \mathbb{Z}^m$ 과 같으며, 여기서 $m$ 은 $Y$ 의 위상 차원이며, 비틀린 콘의 점점 가까워지는 차원이 유한할 경우에 한하여 성립한다.
• 유한한 아벨 군 작용이 컴팩트 메트릭 공간에 작용하는 경우, 다이나믹 점점 가까워지는 차원은 $\operatorname{eq-asdim}(\Gamma\curvearrowright Y) \leq \operatorname{asdim} \Gamma + \dim Y$ 를 만족하며, 이는 이전의 한계를 향상시킨다.
• 비가산 많은 비동형 작용이 $\mathbb{Z}^d$ 에 의해 $\mathbb{T}^1$ 또는 $\mathbb{T}^2$ 에 작용하며, 이는 서로 준등거리사상인 비틀린 콘을 유도한다. 이들 중 일부는 모든 반지름의 구와 준등거리사상이다.
• 비틀린 콘의 자명한 작용에 대해 $\mathbb{Z}^d$ 는 임의의 $d \in \mathbb{N}$ 에 대해 비자명한 작용에 대한 비틀린 콘과 준등거리사상이 되며, 이는 비강성의 예를 보여준다.
• 기하적 성질의 조각별 버전(예: 조각별 성질 A, 조각별 코어스 임베딩 가능성)은 해당 군 성질과 동치이며, 이는 군 불변량을 거리 기하학을 통해 새로운 방식으로 특성화할 수 있게 한다.