[논문 리뷰] Wasserstein Autoregressive Models for Density Time Series

Chao Zhang, Piotr Kokoszka외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 22.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 33인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 확률 분포 공간에서 워샤르스키 거리의 기하학적 구조를 활용하여 밀도 시간 시리즈를 위한 워샤르스키 자동회귀(WAR) 모델을 제안한다. 최적 운반 이론을 통해 밀도를 탄성 공간으로 매핑함으로써, 운반 지도의 자동회귀 모델링을 통한 민감하고 비모수적 예측이 가능해지며, 기존 방법들과 여러 지표에서 금융 수익률 데이터에 대해 뛰어난 예측 정확도를 달성한다.

ABSTRACT

Data consisting of time-indexed distributions of cross-sectional or intraday returns have been extensively studied in finance, and provide one example in which the data atoms consist of serially dependent probability distributions. Motivated by such data, we propose an autoregressive model for density time series by exploiting the tangent space structure on the space of distributions that is induced by the Wasserstein metric. The densities themselves are not assumed to have any specific parametric form, leading to flexible forecasting of future unobserved densities. The main estimation targets in the order-$p$ Wasserstein autoregressive model are Wasserstein autocorrelations and the vector-valued autoregressive parameter. We propose suitable estimators and establish their asymptotic normality, which is verified in a simulation study. The new order-$p$ Wasserstein autoregressive model leads to a prediction algorithm, which includes a data driven order selection procedure. Its performance is compared to existing prediction procedures via application to four financial return data sets, where a variety of metrics are used to quantify forecasting accuracy. For most metrics, the proposed model outperforms existing methods in two of the data sets, while the best empirical performance in the other two data sets is attained by existing methods based on functional transformations of the densities.

연구 동기 및 목표

• 확률 밀도 함수의 시간 시리즈를 기하학적이고 비모수적으로 모델링하고 예측하기 위한 방법 개발.
• 비선형 분포 공간에서의 표준 기능 데이터 분석의 한계를 극복하기 위해 워샤르스키 거리의 탄성 공간 기하학적 구조를 활용.
• 밀도의 형태를 가정하지 않고 향후 관측되지 않은 밀도를 민감하게 예측할 수 있도록 하기.
• 제안된 모델 하에서 핵심 추정량인 워샤르스키 자기상관과 벡터형 자동회귀 계수의 渐近 정규성을 확립하기.
• WAR(p) 모델의 차수 선택을 위한 데이터 기반 절차를 제공하여 예측 성능을 향상시키기.

제안 방법

• 밀도 분포 공간에 대한 리만 기하학을 워샤르스키 거리로 정의함으로써 탄성 공간 표현을 가능하게 한다.
• 각 밀도는 워샤르스키 평균에서의 탄성 공간으로 최적 운반의 로그 맵을 통해 매핑되어 비선형 밀도 공간을 힐베르트 공간으로 변환한다.
• 탄성 공간에서 차수-p 자동회귀 모델을 설정하여 운반 지도를 벡터 자동회귀 과정으로 모델링한다.
• 워샤르스키 자기상관과 자동회귀 계수의 추정량을 제안하고, 이들이 渐近 정규성을 띤다는 것을 보여준다.
• 선택된 지표에 기반하여 예측 성능을 최적화하기 위한 데이터 기반의 차수 선택 절차를 개발한다.
• 예측된 운반 지도를 지수 맵을 통해 밀도 공간으로 다시 투영함으로써 예측을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 워샤르스키 거리의 기하학적 구조를 활용하여 비모수적 밀도 시간 시리즈에 자동회귀 모델링을 효과적으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 비선형 분포 공간에서 정(stationarity)과 渐近 성질을 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ3 WAR(p) 모델의 예측 성능은 금융 수익률 밀도 데이터에서 기존 방법들과 비교해 어떻게 되는가?
• RQ4 평가 지표로 사용된 거리 척도(예: KL 발산, 워샤르스키 거리)의 선택이 예측 정확도 평가에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 데이터 기반의 차수 선택 절차는 WAR(p) 모델의 예측 정확도 향상에 기여하는가?

주요 결과

• WAR(p) 모델은 네 개의 금융 수익률 데이터셋 중 두 개에서 기존 방법들에 비해 KL 발산, JS 발산, 워샤르스키 거리 측면에서 뛰어난 예측 정확도를 달성하였다.
• 다우존스 및 S&P 500 교차 수익률 데이터셋에서, 목표 함수로 KL 발산을 사용한 완전 기능형 WAR(p) 모델이 워샤르스키 거리 측정 기준으로 모든 다른 방법들을 압도하였으며, 값은 2.59×10⁻²를 기록하였다.
• 완전 기능형 WAR(p) 모델은 밀도의 전체 기능적 형태를 사용하여 경쟁 가능한 성능을 달성하였으며, 다우존스 데이터셋에서 워샤르스키 거리는 2.61×10⁻²였다.
• 제안된 워샤르스키 자기상관 및 자동회귀 계수 추정량은 渐近 정규성을 띠며, 통계적 추론 프레임워크의 타당성을 입증하였다.
• 두 개의 데이터셋에서 WAR(p) 모델이 기존 방법들을 능가하였고, 나머지 두 개의 데이터셋에서는 기능적 변환 기반 방법(예: CoDa)이 최고의 성능을 기록하여, 모델의 뛰어난 성능이지만 맥락 의존적임을 시사하였다.
• 데이터 기반의 차수 선택 절차는 모델 복잡도와 예측 정확도 사이의 균형을 효과적으로 유지하며, 모델이 다양한 예측 목표에 적응 가능함을 보여주었다.