[논문 리뷰] Wasserstein stability estimates for covariance-preconditioned Fokker-Planck equations

José A. Carrillo, Urbain Vaes|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 16.

Numerical methods in inverse problems참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유도 없는 역문제에서 나타나는 공분산 조정이 가미된 포커-플랑크 방정식에 대해 최적 운반 이론을 활용하여 2-워샤르슈타인 거리에서의 안정성 추정을 수립한다. 소음이 존재할 경우($\sigma > 0$) 평형 상태로의 지수 수렴을 증명하고, 소음이 없을 경우($\sigma = 0$) 진짜 해에서의 딜라크 델타로의 대수적 수렴을 보이며, 선형 전진 모델 케이스에서 열려 있는 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We study the convergence to equilibrium of the mean field PDE associated with the derivative-free methodologies for solving inverse problems. We show stability estimates in the euclidean Wasserstein distance for the mean field PDE by using optimal transport arguments. As a consequence, this recovers the known convergence towards equilibrium estimates in the case of a linear forward model.

연구 동기 및 목표

• 유도 없는 역문제 해법에서 사용되는 평균장 PDE에 대해 2-워샤르슈타인 거리에서의 정량적 안정성 추정을 수립하기 위해.
• 소음이 없는 경우($\sigma = 0$) 선형 전진 모델 케이스에서 평형 수렴에 대한 열린 문제를 해결하기 위해.
• 입자 시스템에서의 평형 추정을 평균장 PDE 설정으로 일반화하기 위해.
• 최적 운반 이론을 활용하여 [15]의 수렴 결과를 회복하고 확장하기 위해.
• 포커-플랑크 방정식을 통한 엔semble 칼만 기반 역문제 해법의 엄밀한 평균장 기술을 제공하기 위해.

제안 방법

• 분석은 최적 운반 이론을 활용하여 공분산 조정이 가미된 비국소적 포커-플랑크 방정식의 2-워샤르슈타인 거리 $W_2$ 에서의 안정성 추정을 유도한다.
• 핵심 방정식은 $\partial_t f = \nabla \cdot \left( \mathcal{C}(f_t) \left( \nabla \Phi_R(\mathbf{u};\mathbf{y}) f + \sigma \nabla f \right) \right)$ 로, $\mathcal{C}(f_t)$ 는 밀도 $f_t$ 의 공분산 연산자이다.
• 저자들은 상대 엔트로피 접근법과 리아푸노프 함수를 사용하여 두 해의 워샤르슈타인 거리의 진화를 제어한다.
• 워샤르슈타인 거리 $W_2(f_t^1, f_t^2)$ 에 대한 미분 부등식을 유도하고, 이로부터 $W_2(f_t^1, f_t^2) \leq C(f_0^1, f_0^2; G, \Gamma) \cdot \gamma(t) \cdot W_2(f_0^1, f_0^2)$ 의 경계를 이끌어낸다.
• 감쇠율 $\gamma(t)$ 는 공분산 연산자의 스펙트럼 성질과 행렬 노름 부등식을 사용하여 $\sigma > 0$ 일 경우 지수적이고 $\sigma = 0$ 일 경우 대수적임을 보였다.
• 시간에 따른 공분산 행렬의 진화를 제어하기 위해 행렬의 제곱근과 프로베니우스 노름 등가성에 관한 기술적 보조정리를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공분산 조정이 가미된 역문제에 대한 평균장 포커-플랑크 방정식이 초기 자료의 변화에 대해 2-워샤르슈타인 거리에서 안정성을 보이게 되는가?
• RQ2 전진 모델이 선형인 경우 소음 매개변수 $\sigma > 0$ 일 때 포커-플랑크 방정식의 평형 상태로의 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ3 최적 운반 방법을 사용하여 $\sigma > 0$ 일 때의 평형 추정을 $\sigma = 0$ 의 경우로 회복하고 확장할 수 있는가?
• RQ4 $\sigma = 0$ 일 때 포커-플랑크 방정식의 해가 진짜 해 $\mathbf{u}_0$ 에서의 딜라크 델타로 수렴하는가, 만약 그렇다면 그 수렴 속도는 어떠한가?
• RQ5 안정성 상수 $C(f_0^1, f_0^2; G, \Gamma)$ 가 초기 모멘트와 모델 매개변수에 어떻게 의존하는가에 따라 수렴 행동에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 논문은 $\gamma(t)$ 가 $\sigma > 0$ 일 경우 지수적으로 감쇠하므로 $W_2(f_t^1, f_t^2) \leq C(f_0^1, f_0^2; G, \Gamma) \cdot \gamma(t) \cdot W_2(f_0^1, f_0^2)$ 의 형태로 안정성 추정을 수립한다.
• $\sigma > 0$ 일 경우 평형 해는 가우시안이며, 이 추정은 최적 운반 이론을 통한 [15]의 평형 수렴 결과를 회복한다.
• $\sigma = 0$ 일 경우 해는 진짜 해 $\mathbf{u}_0 = B G^T \Gamma^{-1} \mathbf{y}$ 에서의 딜라크 델타로 대수적으로 수렴하며, [21]의 입자 시스템 결과를 일반화한다.
• 안정성 상수 $C(f_0^1, f_0^2; G, \Gamma)$ 는 초기 밀도 $f_0^1$ 과 $f_0^2$ 의 첫 번째 두 모멘트와 모델 매개변수 $G$, $\Gamma$, $\Gamma_0$ 에만 의존한다.
• 분석을 통해 워샤르슈타인 거리의 평형 상태에 대한 상한이 $W_2(f_t, f_\infty) \geq |\boldsymbol{\delta}(t)|$ 를 만족하며, 여기서 $\boldsymbol{\delta}(t)$ 는 평균의 차이임을 증명하여 이 상한이 날카로움을 보였다.
• 저자들은 $|\mathit{M}_1^{1/2} - \mathit{M}_2^{1/2}|_F \leq C(d) \cdot \max(|\mathit{M}_1^{1/2}|_F, |\mathit{M}_2^{1/2}|_F) \cdot |\mathit{M}_1^{1/2} - \mathit{M}_2^{1/2}|_F$ 와 같은 행렬 부등식을 유도하고 사용하여 공분산 행렬의 시간 진화를 제어한다.