[论文解读] Weak complicial sets, a simplicial weak omega-category theory. Part I: basic homotopy theory

Dominic Verity|ArXiv.org|Apr 19, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用 9

一句话总结

本文在分层单纯集上建立了 Quillen 模型结构，其纤维对象为弱复合单纯集——该结构推广了 Kan 复形、准范畴和严格 ω-范畴。通过引入并和、Gray 张量积及可去扩张，本文为弱 ω-范畴建立了基础同伦理论，并作为推论独立重构了 Joyal 的准范畴模型结构。

ABSTRACT

This paper develops the foundations of a simplicial theory of weak omega-categories, which builds upon the insights originally expounded by Ross Street in his 1987 paper on oriented simplices. The resulting theory of weak complicial sets provides a common generalisation of the theories of (strict) omega-categories, Kan complexes and Joyal's quasi-categories. We generalise a number of results due to the current author with regard to complicial sets and strict omega-categories to provide an armoury of well behaved technical devices, such as joins and Gray tensor products, which will be used to study these the weak omega-category theory of these structures in a series of companion papers. In particular, we establish their basic homotopy theory by constructing a Quillen model structure on the category of stratified simplicial sets whose fibrant objects are the weak complicial sets. As a simple corollary of this work we provide an independent construction of Joyal's model structure on simplicial sets for which the fibrant objects are the quasi-categories.

研究动机与目标

• 通过单纯方法构建弱 ω-范畴的同伦理论框架。
• 将严格 ω-范畴、Kan 复形及 Joyal 的准范畴统一于弱复合单纯集的单一理论之中。
• 在分层单纯集中建立 Quillen 模型结构，使弱复合单纯集成为纤维对象。
• 为高阶范畴论提供技术工具——并和、Gray 张量积及可去扩张。
• 将 Joyal 的准范畴模型结构作为特例恢复，实现独立构造。

提出的方法

• 通过在单纯集中赋予一组特殊标记的单体（即薄单体），引入分层单纯集。
• 通过广义的内锥的弱唯一填充条件定义弱复合单纯集，放宽了复合单纯集对唯一性的要求。
• 利用增广单纯集与 décalage 构造分层集的并和，实现高维复合。
• 发展分层集的 Gray 张量积，以在高阶范畴中建模松散交换性。
• 识别可去扩张并用其定义纤维化，从而建立 Quillen 模型结构。
• 应用 Jeffery Smith 定理，在分层单纯集范畴上构造一个由生成元生成的模型结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构建一个单纯理论，使弱 ω-范畴既能推广严格 ω-范畴，也能推广准范畴？
• RQ2 分层单纯集需满足何种条件，才能保证其同伦理论的良好行为？
• RQ3 并和与 Gray 张量积能否在分层集中进行组合定义，以实现高维复合的建模？
• RQ4 弱复合单纯集与 Joyal 的准范畴有何关系？能否独立地重构 Joyal 的模型结构？
• RQ5 在分层单纯集上何种模型结构能将弱复合单纯集作为纤维对象，并具备良好的同伦性质？

主要发现

• 在分层单纯集范畴上构造了 Quillen 模型结构，其纤维对象恰好为弱复合单纯集。
• 该模型结构为由生成元生成且具有张量积结构，Gray 张量积保持纤维化与无瑕纤维化。
• 弱等价类在重取下封闭，并满足 2-of-3 性质，确保了同伦理论的良好行为。
• 该模型结构中的纤维对象正是弱复合单纯集，其推广了 Kan 复形与准范畴。
• 作为推论，独立重构了 Joyal 在单纯集上的模型结构——其中纤维对象为准范畴。
• 该理论为高阶范畴论提供了组合上可处理的框架，明确构造了并和与张量积。