[논문 리뷰] Weak convergence analysis of the symmetrized Euler scheme for one dimensional SDEs with diffusion coefficient |x|^a, a in [1/2,1)

Mireille Bossy, Awa Diop|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 19.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 확산 계수 |x|^α를 가진 일차원 SDE에 대해 대칭화된 오일러 스킴을 제안하며, α ∈ [1/2, 1)인 경우 비음성 보장과 함께 약한 수렴 차수 1을 달성한다. 오일러 스킴을 원점 기준으로 대칭화함으로써 해의 비음성성을 유지하고, 콜모고로프 PDE 해의 공간 도함수에 상한을 설정함으로써, 최적 수렴 속도를 갖는 엄밀한 약한 오차 분석을 가능하게 한다.

ABSTRACT

In this paper, we are interested in the time discrete approximation of Ef(X(T)) when X is the solution of a stochastic differential equation with a diffusion coefficient function of the form |x|^a. We propose a symmetrized version of the Euler scheme, applied to X. The symmetrized version is very easy to simulate on a computer. For smooth functions f, we prove the Feynman Kac representation u(t,x) = E_{t,x} f(X(T)), for u(t,x) solving the associated Kolmogorov PDE and we obtain the upper-bounds on the spatial derivatives of u up to the order four. Then we show that the weak error of our symmetrized scheme is of order one, as for the classical Euler scheme.

연구 동기 및 목표

• 표준 오일러 스킴이 국소 리프시츠 조건 및 부호 문제로 실패하는 바, 확산 계수 |x|^α, α ∈ [1/2,1)인 SDE에 대해 수치적으로 안정적이고 비음성 보존을 보장하는 이산화 방법을 개발한다.
• 제안된 대칭화된 오일러 스킴의 약한 수렴 속도를 분석하여, 영점에서의 특이성에도 불구하고 차수 1을 달성함을 증명한다. 이는 고전적 오일러 스킴와 동일한 성능을 보인다.
• 해당 콜모고로프 PDE 해의 공간 도함수(최대 4차까지)에 상한을 설정하여, 페인만-카크 표현을 통한 오차 분석을 가능하게 한다.
• α = 1/2 및 1/2 < α < 1의 두 경우에 대해 각각 별도로 분석을 확장하여, 전체 매개변수 범위에서의 강건성을 확보한다.
• 모의 과정이 비음성임을 보장하여 금융 시장의 CIR 및 SABR 유형 모델, 난류 모델링에서의 행동을 모방한다.

제안 방법

• 원점 기준으로 오일러 증분을 반사시켜 해 과정의 비음성을 유지하는 대칭화된 오일러 스킴을 제안한다.
• 해 u(t,x) = E[f(X_T)]를 콜모고로프 PDE의 해로 표현하기 위해 페인만-카크 공식을 적용한다.
• 기하브스형 측도 변화를 사용하여 u의 공간 도함수(최대 4차까지)에 대한 계층적 확률적 표현을 유도한다.
• 시간이 변경된 과정을 사용하여 고차 도함수를 기존 측도 하의 기대값으로 표현하기 위해 Q^(1,3/2), Q^(1,2), 등과 같은 확률 측도의 수열을 적용한다.
• 시간이 변경된 과정 X^x(s)를 도입하여, s = 3/2, 2, 등에서 고차 도함수를 원래 측도 하의 기대값으로 표현한다.
• 기존 측도 및 변경된 측도 하에서 과정 J^x_t와 그 모멘트의 존재성을 증명함으로써, 해 u 및 그 도함수의 존재성과 해석적 성질을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 확산 계수 |x|^α, α ∈ [1/2,1)인 SDE에 대해, 영점에서의 특이성에도 불구하고 대칭화된 오일러 스킴이 약한 수렴 차수 1을 달성할 수 있는가?
• RQ2 콜모고로프 PDE 해와 그 공간 도함수는 어떻게 확률적으로 표현할 수 있으며, 이는 오차 분석을 가능하게 하는가?
• RQ3 대칭화 전략은 국소 리프시츠 조건을 가진 확산 계수의 존재 속에서 비음성 보존과 수치적 안정성 확보에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 약한 수렴 분석을 지원하기 위해 콜모고로프 PDE 해의 4차 공간 도함수에 상한을 유도할 수 있는가?
• RQ5 대칭화된 스킴의 약한 오차는 고전적 오일러 스킴과 비교해 수렴 속도와 수치적 안정성 측면에서 어떻게 다를까?

주요 결과

• 확산 계수 |x|^α, α ∈ [1/2,1)인 SDE에 대해 대칭화된 오일러 스킴은 비리프시츠 성질에도 불구하고 약한 수렴 차수 1을 달성하며, 고전적 오일러 스킴과 동일한 성능을 보인다.
• 콜모고로프 PDE 해 u(t,x) = E[f(X_T)]는 페인만-카크 표현을 갖으며, 이는 최대 4차까지의 모든 공간 도함수에 대한 확률적 표현을 가능하게 한다.
• u의 4차 공간 도함수에 상한이 설정되었으며, 이는 분석에서 약한 오차를 제어하는 데 필수적이다.
• 시간이 변경된 과정과 기하브스형 측도의 사용은 고차 도함수에 대한 재귀적 확률적 표현을 가능하게 하여 오차 분석을 촉진한다.
• 대칭화 전략은 모의 과정의 비음성 보존에 성공적으로 기여하였으며, 이는 이자율 및 난류 흐름 모델링에서 매우 중요하다.
• 분석은 두 경우로 나뉘어 진행되며, α = 1/2 및 1/2 < α < 1에 대해 각각 별도로 수렴 결과를 증명하여 전체 매개변수 범위에서의 강건성을 확보한다.