[논문 리뷰] Weak convergence of empirical Wasserstein type distances

Philippe Berthet, Jean‐Claude Fort|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 06.

Geometric Analysis and Curvature Flows인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 두 연속 분포 간의 경험적 워샤우츠타입 거리에 대해 약한 수렴과 중심극한정리(CLT)를 확립한다. 이는 분포가 동일하거나 尾 尾가 매우 가까운 경우에도 성립한다. 비용 함수 ρ와 분포의 꼬리 행동 간의 새로운 조건을 제시하여, 수렴 속도와 극한 분포가 ρ가 0과 무한대 근처에서 정규 변화(regular variation)를 보일 때 결정되며, 특히 F = G인 경우에 그 영향이 크다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

We estimate contrasts $\int_0 ^1 ρ(F^{-1}(u)-G^{-1}(u))du$ between two continuous distributions $F$ and $G$ on $\mathbb R$ such that the set $\{F=G\}$ is a finite union of intervals, possibly empty or $\mathbb{R}$. The non-negative convex cost function $ρ$ is not necessarily symmetric and the sample may come from any joint distribution $H$ on $\mathbb{R}^2$ with marginals $F$ and $G$ having light enough tails with respect to $ρ$. The rates of weak convergence and the limiting distributions are derived in a wide class of situations including the classical Wasserstein distances $W_1$ and $W_2$. The new phenomenon we describe in the case $F=G$ involves the behavior of $ρ$ near $0$, which we assume to be regularly varying with index ranging from $1$ to $2$ and to satisfy a key relation with the behavior of $ρ$ near $\infty$ through the common tails. Rates are then also regularly varying with powers ranging from $1/2$ to $1$ also affecting the limiting distribution, in addition to $H$.

연구 동기 및 목표

• 기본 분포 F와 G가 동일하거나 꼬리가 임의로 가까운 경우 경험적 워샤우츠타입 거리에 대한 약한 수렴과 중심극한정리(CLT)를 확립한다.
• 비용 함수 ρ의 0과 무한대 근처 행동이 수렴 속도와 극한 분포에 미치는 영향을 분석하며, 특히 F = G인 경우에 중점을 둔다.
• 비대칭이고 볼록인 비용 함수를 허용하며, 종속적이거나 i.i.d.가 아닌 표본을 다룰 수 있는 프레임워크를 개발한다.
• F와 G의 꼬리 행동과 비용 함수 ρ를 연결하는 명시적이고 검증 가능한 조건을 도출하여, 이전 연구에서 사용된 암묵적 또는 확률적 가정을 피한다.
• 이전의 워샤우츠 거리 결과를 W₁ 및 W₂로 확장하고, 비대칭 ρ를 가진 F = G인 도전적인 경우를 다룰 수 있도록 한다.

제안 방법

• 이 방법은 분포 함수의 역함수를 근사하기 위해 적절한 부분 구간으로 (0,1)의 적분 영역을 세분화하는 데 기반한다.
• 서브인터발에서 양측의 분위수 과정 √n(𝐹̂ₙ⁻¹(u) − F⁻¹(u)) 및 √n(𝐺̂ₙ⁻¹(u) − G⁻¹(u))을 적절하게 스케일링한 브라운 운동 브릿지로 공동 근사한다.
• 밀도가 0에 가까워지는 근처에서 F ↦ F⁻¹의 Hadamard 미분 가능성 부족으로 인해 기능적 델타 방법을 피한다.
• 강한 근사 기법과 헝가리아 구성(Hungarian construction)을 적용하여 u = 0 및 u = 1 근처에서 분위수 과정의 행동을 제어한다.
• ρ의 0과 ∞에서의 정규 변화를 분석하고, 공통된 꼬리 성질을 통해 이러한 행동 간의 핵심 관계를 수립한다.
• 커플링 및 모멘트 유계를 사용하여 분위수 과정의 차이를 포함하는 적분의 극한 행동을 분석함으로써 경험적 대비의 약한 수렴을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 F = G이면서 비용 함수 ρ가 비대칭일 경우, 경험적 워샤우츠타입 거리의 약한 수렴 속도와 극한 분포는 어떻게 행동하는가?
• RQ2 F와 G가 가까운 경우나 동일한 경우에 경험적 대비의 약한 수렴과 CLT를 보장하기 위해 비용 함수 ρ와 F, G의 꼬리 행동에 어떤 조건이 필요한가?
• RQ3 ρ가 0과 무한대 근처에서 정규 변화를 보일 경우, F = G인 경우 수렴 속도와 극한 분포에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 기존의 워샤우츠 거리 W₁과 W₂는 비독립적 또는 비i.i.d. 표본을 허용하는 통합 프레임워크 내에서 다룰 수 있는가?
• RQ5 F = G일 때 표본의 공동 분포 H가 극한 분산을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• F = G 이면서 ρ가 0에서 지수 [1,2]로 정규 변화할 경우, 경험적 대비의 수렴 속도는 지수 [1/2,1]로 정규 변화하며, ρ가 0 근처에서의 행동에 따라 달라진다.
• F = G인 경우의 극한 분포는 비정규이며, 표본의 공동 분포 H와 함께 ρ의 0과 ∞에서의 정규 변화 매개수에 따라 달라진다.
• F = G 이면서 ρ(x) = x²가 0 근처에서 성립할 경우, 극한 분포는 ∫₀¹ |B(u)| du로 표현되며, 여기서 B는 표준 브라운 브릿지이다.
• 비용 함수 ρ가 비대칭이면서 0에서 지수 2 미만으로 정규 변화를 보일 경우, 수렴 속도는 √n보다 느리다.
• CLT의 극한 분산은 표본의 공동 의존 구조를 H를 통해 결정하며, 단순히 귀속 행동으로는 환원될 수 없다.
• 논문은 F와 G의 꼬리와 비용 ρ에 대한 명시적이고 검증 가능한 조건을 제공하여, 이전 연구에서 사용된 암묵적 또는 확률적 가정을 피하고 약한 수렴을 보장한다.