[논문 리뷰] Weak convergence rates for numerical approximations of stochastic partial differential equations with nonlinear diffusion coefficients in UMD Banach spaces

Mario Hefter, Arnulf Jentzen외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 09.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 13인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 UMD 바나흐 공간에서 비선형 확산 계수를 가진 반선형 스트로복틱 편미분방정식(SPDE)에 대한 시간 이산화된 지수 오일러 근사의 본질적으로 날카로운 약한 수렴 속도를 확립한다. UMD 공간에서 타입 2를 갖는 미약 이토 공식을 활용하여, 임의의 $\varepsilon > 0$에 대해 $\frac{1}{2} - \varepsilon$의 약한 수렴 속도를 증명하며, 공간-시간 백색 잡음에 의해 구동되는 비선형 계수에 대한 이론적 격차를 해결한다.

ABSTRACT

Strong convergence rates for numerical approximations of semilinear stochastic partial differential equations (SPDEs) with smooth and regular nonlinearities are well understood in the literature. Weak convergence rates for numerical approximations of such SPDEs have been investigated for about two decades and are still not yet fully understood. In particular, no essentially sharp weak convergence rates are known for temporal or spatial numerical approximations of space-time white noise driven SPDEs with nonlinear multiplication operators in the diffusion coefficients. In this article we overcome this problem by establishing essentially sharp weak convergence rates for exponential Euler approximations of semilinear SPDEs with nonlinear multiplication operators in the diffusion coefficients. Key ingredients of our approach are applications of the mild Itô type formula in UMD Banach spaces with type 2.

연구 동기 및 목표

• SPDE의 시간 또는 공간 수치 근사에 대해 비선형 곱셈 연산자를 포함하는 확산 계수에서 본질적으로 날카로운 약한 수렴 속도의 부족을 해결하기 위해.
• 이전 연구에서 주로 다뤄진 약선형 확산 계수를 초월하여 기존의 약한 수렴 이론을 확장하기 위해.
• UMD 바나흐 공간에서 공간-시간 백색 잡음에 의해 구동되는 SPDE의 맥락에서 지수 오일러 스킴의 수렴 속도를 확립하기 위해.
• 무한차원 확률 시스템에서의 약한 수렴 분석을 위해 UMD 공간에서 타입 2를 갖는 미약 이토 공식을 기반으로 한 엄밀한 프레임워크를 제공하기 위해.

제안 방법

• UMD 바나흐 공간에서 타입 2를 갖는 미약 이토 유형 공식을 적용하여 약한 수렴 추정치를 도출한다.
• 비선형 확산 계수를 갖는 SPDE에 대해 지수 오일러 시간 이산화 근사를 사용한다.
• 편미분 계수와 확산 계수에 대해 네 번 연속으로 미분 가능하고 전역 리프시츠 연속성을 갖는 함수를 가정한다.
• 정규 필터링과 원통형 브라운 운동 하에서 $L^p((0,1);\mathbb{R})$-값 과정으로서 SPDE를 분석한다.
• UMD 공간에서의 보간과 최대 정규성 추정치를 통해 모멘트 유계성과 경로별 정규성을 확립한다.
• 약한 오차를 제어하기 위해 변형 기법과 UMD 공간에서의 확률적 적분 이론을 활용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 UMD 바나흐 공간에서 비선형 확산 계수를 갖는 SPDE에 대한 시간 이산화 지수 오일러 근사에서 달성 가능한 약한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 확산 계수가 비선형(비약선형)일 경우 공간-시간 백색 잡음에 의해 구동되는 SPDE에 대해 본질적으로 날카로운 약한 수렴 속도를 확립할 수 있는가?
• RQ3 타입 2를 갖는 UMD 바나흐 공간에서의 미약 이토 공식은 무한차원 설정에서 약한 수렴 속도 유도에 어떻게 기여하는가?
• RQ4 유도된 약한 수렴 속도의 날카로움은 무엇이며, $\frac{1}{2} - \varepsilon$를 초월해 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 지수 오일러 근사에 대해 $N^{\varepsilon - \frac{1}{2}}$의 약한 수렴 속도를 확립한다. 여기서 $N$은 시간 단계 수이고 $\varepsilon > 0$은 임의의 값이다.
• 비선형 성향이 없는 선형 드리프트와 일정한 확산을 갖는 경우 하한 추정치와 일치함으로써 $\frac{1}{2} - \varepsilon$의 속도가 본질적으로 날카로움을 입증한다.
• 특수한 경우 $f(x) = 0$, $b(x) = 1$, 그리고 $\xi \equiv 0$에 대해 약한 오차는 $c \cdot N^{-\frac{1}{2}} \leq \left| \mathbb{E}[\varphi(X_T)] - \mathbb{E}[\varphi(Y_N^N)] \right| \leq C \cdot N^{\varepsilon - \frac{1}{2}}$를 만족하며, 이는 속도의 날카로움을 증명한다. 여기서 $c, C > 0$이다.
• 이 방법은 선형-암시적 오일러 근사와 같은 다른 스킴로도 확장 가능하므로 이론적 프레임워크의 광범위한 적용 가능성을 시사한다.
• 분석은 UMD 바나흐 공간에서 타입 2를 갖는 미약 이토 공식에 의존하며, 이는 비선형성과 무한차원에서의 확률적 적분을 다룰 수 있게 한다.