[논문 리뷰] Weak eigenstate thermalization with large deviation bound

Takashi Mori|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 30.

Quantum many-body systems인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 d차원 격자 위의 이동 대칭성을 가진 양자 스핀 체계에서 고유상태 열역학 가설(ETH)에 대한 큰 편차 경계를 수립한다. 이는 시스템 크기 N에 따라 비열역학적 고유상태의 비율이 지수적으로 감소함을 보여준다. 에너지 고유상태에서 국소 관측량의 대각 행렬 원소를 분석함으로써, 일반적인 고유상태가 지수적으로 작은 변동을 가지며 ETH를 만족함을 증명하며, 대칭 이론을 통해 표준 약한 ETH를 크게 강화하고 고립된 양자 체계에서 열역학적 평형화의 엄밀한 기초를 제공한다.

ABSTRACT

We investigate the eigenstate thermalization hypothesis (ETH) for a translationally invariant quantum spin system on the $d$-dimensional cubic lattice under the periodic boundary conditions. It is known that the ETH holds in this model for typical energy eigenstates in the sense that the standard deviation of the expectation values of a local observable in the energy eigenstates within the microcanonical energy shell vanishes in the thermodynamic limit, which is called the weak ETH. Here, it is remarked that the diagonal elements of a local observable in the energy representation shows the large deviation behavior. This result implies that the fraction of atypical eigenstates which do not represent thermal equilibrium is exponentially small.

연구 동기 및 목표

• 이동 대칭성을 가진 양자 스핀 체계에 대해 표준 약한 ETH를 넘는 더 강력한 형태의 고유상태 열역학 가설(ETH)을 수립하는 것.
• 마이크로canonical 에너지 셸 내에서 이질적(비열역학적) 에너지 고유상태의 비율을 정량화하는 것.
• 대칭 이론을 사용하여 이 비율이 시스템 크기 N에 따라 지수적으로 감소함을 보이는 것.
• 효율적 차원과 큰 편차 경계에 기반한 고립된 양자 체계에서 열역학적 평형화를 위한 엄밀한 충분조건을 제공하는 것.
• 효율적 차원 스케일링 측면에서 통합 가능 체계와 비통합 가능 체계의 차이를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 마이크로canonical 에너지 셸 H_{E,ΔE} 내에서 에너지 고유상태 |n⟩ 에서 국소 관측량 O의 대각 행렬 원소 ⟨n|O|n⟩ 를 분석한다.
• 이동 대칭성과 유계성을 가지는 매크로스코픽 관측량 M = (1/N)∑_{x∈Λ} O_x 를 도입한다.
• 마이크로canonical 분포에 대해 큰 편차 이론을 적용하고, M의 변동성 감소를 지배하는 비용 함수 I(m) 를 정의한다.
• Varadhan의 정리를 사용하여 누적 생성 함수 ⟨e^{NλM}⟩^mc_N 와 Legendre-Fenchel 변환 φ(λ) = sup_m[λm - I(m)] 를 연결한다.
• 큰 편차의 확률에 대한 상한을 유도한다: Prob{|⟨n|O|n⟩ - ⟨O⟩^mc_N| > δ} ≤ e^{-Nγ} (어떤 γ > 0 에 대해).
• 효율적 차원 D_eff > e^{-ηN} dim H_{E,ΔE} (η < γ) 를 만족할 경우 열역학적 평형화가 보장됨을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 마이크로canonical 분포에서 비열역학적 고유상태의 비율이 시스템 크기 N에 대해 다항식이 아닌 지수적으로 유계일 수 있는가?
• RQ2 d차원 격자 위의 국소 상호작용을 가지는 양자 스핀 체계에서, 약한 ETH가 짧은 범위 상호작용에 대해 지수적 큰 편차 경계를 만족하는가?
• RQ3 효율적 차원 D_eff 가 시간에 따른 진동수 변화에서 열역학적 평형화를 이루는 양자 상태의 성격을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 양자 쿠잉 동역학의 맥락에서, 통합 가능 체계와 비통합 가능 체계 간의 큰 편차 경계는 어떻게 다를까?
• RQ5 큰 편차 경계에서 비용 함수 I(m) 는 이동 대칭성을 가진 체계에서 국소 관측량의 고유상태 성질과 엄밀하게 연결될 수 있는가?

주요 결과

• |⟨n|O|n⟩ - ⟨O⟩^mc_N| > δ 를 만족하는 비열역학적 에너지 고유상태의 비율은 e^{-Nγ} (어떤 γ > 0 에 대해) 로 지수적으로 감소하며, Chebyshev 부등식으로부터 유도된 다항식 경계보다 크게 향상된다.
• d=1 이고 정상 온도일 경우, 그리고 d≥2 이고 고온 영역일 경우, 큰 편차 경계 (2) 가 성립하여 열역학적 고유상태의 강력한 일반성(strong typicality)을 시사한다.
• 누적 생성 함수 ⟨e^{NλM}⟩^mc_N 는 φ(λ) = sup_m[λm - I(m)] 에 의해 상한이 주어지며, 이는 큰 편차 이론과의 연결을 확립한다.
• D_eff > e^{-ηN} dim H_{E,ΔE} (η < γ) 를 만족할 경우 열역학적 평형화가 보장되며, 이는 전체 마이크로canonical 차원보다 지수적으로 작은 D_eff 에 대해서도 성립한다.
• 결과적으로, D_eff 가 지수적으로 억제되지 않는 한, 낮은 효율적 차원을 가진 체계에서도 열역학적 평형화가 일어날 수 있음을 시사하며, 이는 통합 가능 체계와 비통합 가능 체계 간의 차이를 설명하는 데 기여한다.
• 비통합 가능 체계에 대한 수치적 증거는 D_eff ≈ dim H_{E,ΔE} 를 시사하는 반면, 통합 가능 체계는 D_eff ≪ e^{-γN} dim H_{E,ΔE} 를 보이며, 고유상태 통계에서의 근본적인 차이를 나타낸다.