[논문 리뷰] Weak uniqueness and density estimates for sdes with coefficients depending on some path-functionals

Noufel Frikha, Libo Li|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 05.

Stochastic processes and financial applications인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 국소 시간과 누적 최대값과 같은 경로 기능에 의존하는 계수를 가진 1차원 SDE에 대해 약한 유일성과 전이 밀도 추정을 확립하기 위한 새로운 파라메트릭스 기반 방법론을 개발한다. Bass와 Perkins의 접근법을 특이 측도로 확장하여 두 핵심 예시에서 약한 존재성, 유일성 및 전이 밀도에 대한 가우시안 상계를 증명하며, 특이 확률 측도로 인한 과제를 파라메트릭스 커널의 특수한 스무딩 성질을 통해 극복한다.

ABSTRACT

In this paper, we develop a general methodology to prove weak uniqueness for stochastic differential equations with coefficients depending on some path-functionals of the process. As an extension of the technique developed by Bass \& Perkins [BP09] in the standard diffusion case, the proposed methodology allows one to deal with processes whose probability laws are singular with respect to the Lebesgue measure. To illustrate our methodology, we prove weak existence and uniqueness in two examples : a diffusion process with coefficients depending on its running symmetric local time and a diffusion process with coefficients depending on its running maximum. In each example, we also prove the existence of the associated transition density and establish some Gaussian upper-estimates.

연구 동기 및 목표

• 국소 시간과 누적 최대값과 같은 경로 기능에 의존하는 계수를 가진 SDE에 대해 약한 유일성을 확립하기 위해.
• X_t와 A_t(X)의 공동 측도가 르베그 측도에 대해 특이할 경우, 파라메트릭스 기법을 확장하여 적용하기 위해.
• 이러한 SDE에서 전이 밀도의 존재성과 가우시안 상계를 증명하기 위해.
• 르베그 측도가 아닌 σ-유한 기준 측도 ν(x, dy)를 사용하여 특이 측도를 다룰 수 있는 프레임워크를 개발하기 위해.
• 구체적인 두 예시에서 방법을 검증하기 위해: 영점에서 대칭 국소 시간을 가지는 운동과 누적 최대값을 가지는 운동

제안 방법

• Bass와 Perkins [BP09]의 파라메트릭스 방법을 경로 기능 계수를 가진 SDE에 적응시켜, 비틀림 근사법을 사용한 추진력과 분산 계수의 근사화를 사용한다.
• 르베그 측도에 대해 (X_t, A_t(X))의 측도가 특이할 경우에도 스무딩 성질을 보장하는 수정된 파라메트릭스 커널을 도입한다.
• 생성자 영역과 관련된 적절한 클래스 D에 속하는 함수 f(t, X_t, A_t(X))에 대해 체인 룰(이토의 공식)을 적용한다.
• 공간-시간 부등식과 열핵 추정 H_0(ct, r)을 사용하여 전이 밀도 도함수와 그 감쇠를 제어한다.
• 파라메트릭스 커널을 포함하는 적분을 제어하기 위해 대각선 및 비대각선 영역(D1 및 D2)으로 분해한다.
• 보간과 척도 조정을 사용하여 H_0 및 그 도함수의 유계성에 기반하여 전이 밀도의 도함수 추정을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 르베그 측도에 대해 (X_t, A_t(X))의 측도가 특이할 경우, 국소 시간이나 누적 최대값과 같은 경로 기능에 의존하는 계수를 가진 SDE에 대해 약한 유일성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 기준 측도 ν(x, dy)가 르베그 측도와 동치가 아니지만 σ-유한할 경우, 파라메트릭스 방법은 여전히 효과적인가?
• RQ3 국소 시간 또는 누적 최대값이 계수로 포함된 SDE의 전이 밀도에 대해 가우시안 상계를 유도할 수 있는가?
• RQ4 특이 측도 설정에서 끝점이 아닌 고정점에서 파라메트릭스 커널의 스무딩 성질을 어떻게 유지할 수 있는가?
• RQ5 국소 시간과 최대 기능 계수를 가진 경우, 전이 밀도의 정확한 도함수 추정은 무엇인가?

주요 결과

• b와 σ가 적절한 정규성 및 유계성 조건을 만족할 경우, 영점에서 대칭 국소 시간에 의존하는 SDE에 대해 약한 유일성이 확립된다.
• 누적 최대값에 의존하는 계수를 가진 SDE에 대해 약한 존재성과 유일성이 증명되었으며, [For11]의 결과를 확장한다.
• 전이 밀도는 존재하며, 국소 시간 케이스에서 형태 C t^{-1/2} H_0(ct, |x| + |x_0| + ℓ - ℓ_0)의 가우시안 상계를 만족한다.
• 전이 밀도의 도함수 추정이 확보되었다: r = 0,1,2 및 β ∈ [0,1]에 대해 |∂_x0^r f_t(x_0,x)| ≤ C t^{-r/2} (|x|^β / t^{β/2} ∧ |x_0|^β / t^{β/2} ∧ 1) H_0(ct, x - x_0).
• 비대각선 영역에서 열핵의 곱의 적분은 C t^{-1/2} H_0(ct, |x| + |x_0| + ℓ - ℓ_0)로 유계지며, 스무딩 성질을 확인한다.
• σ-유한 기준 측도 ν(x, dy)를 사용함으로써 특이 측도를 성공적으로 다룰 수 있었으며, 표준 확산 프레임워크를 초월한 경로 기능 SDE의 분석을 가능하게 하였다.