[논문 리뷰] What is algebraic about algebraic effects and handlers?

Andrej Bauer|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 16.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 보편 대수학과 계산적 효과를 연결하여 대수적 효과와 핸들러에 대한 엄밀한 수학적 기반을 구축한다. 대수적 이론—기호 집합과 등식 법칙으로 정의된 것—이 계산적 효과를 모델링할 수 있음을 보여주며, 핸들러가 대수적 이론의 자유 모델 간의 준동형사상에 해당함을 입증한다. 이는 예외, I/O, 코루틴과 같은 다양한 프로그래밍 구조를 하나의 대수적 프레임워크로 통합한다.

ABSTRACT

This note recapitulates and expands the contents of a tutorial on the mathematical theory of algebraic effects and handlers which I gave at the Dagstuhl seminar 18172 "Algebraic effect handlers go mainstream". It is targeted roughly at the level of a doctoral student with some amount of mathematical training, or at anyone already familiar with algebraic effects and handlers as programming concepts who would like to know what they have to do with algebra. We draw an uninterrupted line of thought between algebra and computational effects. We begin on the mathematical side of things, by reviewing the classic notions of universal algebra: signatures, algebraic theories, and their models. We then generalize and adapt the theory so that it applies to computational effects. In the last step we replace traditional mathematical notation with one that is closer to programming languages.

연구 동기 및 목표

• 대수적 효과와 핸들러의 수학적 근거를 보편 대수학과 등식 이론과 연결하여 명확히 하기.
• 추상적인 대수적 구조와 프로그래밍 언어에서의 실용적 활용 사이의 격차를 해소하기.
• 계산적 효과와 그 핸들러를 모델링하기 위한 공식적 기초로 대수적 이론을 사용할 것을 촉진하기.
• 등식과 공모델을 프로그래밍 언어 의미론에 통합함으로써 그 영향을 탐색하기.
• 동적 효과 생성과 효과 및 핸들러를 고려하는 언어 설계에 대한 열린 문제를 규명하기.

제안 방법

• 기호 집합(항수를 가진 연산 기호)과 등식 법칙을 사용하여 대수적 이론을 형식화하여 대수적 구조를 정의한다.
• 자유 모델을 계산 유형의 수학적 기초로 도입하며, 이는 항이 계산을 나타내는 것을 전제로 한다.
• 핸들러를 대수적 이론의 자유 모델 간의 준동형사상으로 정의하여, 한 이론의 연산과 등식을 다른 이론으로 매핑한다.
• 수학적 표기법을 프로그래밍 언어 구조에 맞게 조정하여 '항'을 '계산'으로, '모델'을 '계산 유형'으로 대체한다.
• 프로그램과 환경 간의 상호작용을 모델링하기 위해 공모델의 개념을 도입한다. 특히 효과가 포함된 계산에서 중요하다.
• 모델과 공모델의 텐서 곱을 사용하여 프로그램과 외부 시스템 간의 상호작용을 수학적으로 모델링하는 메커니즘을 제안한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 대수적 이론을 프로그래밍 언어에서 계산적 효과를 모델링하기 위해 적응시킬 수 있는가?
• RQ2 대수적 구조에서 핸들러와 준동형사상 사이의 수학적 대응 관계는 무엇인가?
• RQ3 대수적 이론의 등식을 계산적 효과의 의미론에 어떻게 의미 있게 통합할 수 있는가?
• RQ4 공모델은 프로그램과 외부 환경 간의 상호작용을 모델링하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 동적으로 생성된 계산적 효과는 어떻게 공식적으로 모델링하고 언어에서 지원할 수 있는가?

주요 결과

• 대수적 효과와 핸들러는 보편 대수학에 기반한 수학적 기반을 지니며, 핸들러는 대수적 이론의 자유 모델 간 준동형사상에 해당한다.
• 이 이론은 예외, I/O, 코루틴과 같은 다양한 프로그래밍 구조를 하나의 대수적 프레임워크로 통합한다.
• 기존의 구현은 결정 불가능성으로 인해 등식을 무시하는 경우가 많지만, 이를 통합하면 정확성과 추상화가 향상된다.
• 공모델과 모델의 텐서 곱은 프로그램-환경 상호작용을 공식적으로 모델링하는 메커니즘을 제공하지만, 실무에서는 아직 잘 활용되지 않고 있다.
• 파일 열기나 스레드 생성과 같은 동적 효과 생성은 여전히 열린 문제이며, Eff와 같은 언어의 초기 버전에서만 제한적인 지원이 이루어지고 있다.
• 현재 언어에서 등식 인식 의미론이 부재함으로써 공식적 추론과 최적화가 제한되지만, 이론적으로는 등식 지원의 이점이 크다.