[논문 리뷰] What is wrong with von Neumann's theorem on "no hidden variables"

Elemér E Rosinger|ArXiv.org|2004. 08. 31.

Mathematical and Theoretical Analysis참고 문헌 4인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 1932년 폰 노이만이 양자역학에서 은닉 변수의 존재를 금지하는 정리에 도전하며, 이 정리의 핵심 가정인 모든 관측가능량(비가환인 경우 포함)에 대해 기대값의 실선형성은 물리적으로 비합리하다고 주장한다. 저자는 이 가정이 비가환 관측가능량에 적용될 경우 수학적 모순을 초래하며, 브롬의 역학이 이 정리의 결론을 무효화하는 반례가 된다고 보여준다.

ABSTRACT

It is shown that, although correct mathematically, the celebrated 1932 theorem of von Neumann which is often interpreted as proving the impossibility of the existence of "hidden variables" in Quantum Mechanics, is in fact based on an assumption which is physically not reasonable. Apart from that, the alleged conclusion of von Neumann proving the impossibility of the existence of "hidden variables" was already set aside in 1952 by the counterexample of the possibility of a physical theory, such as given by what is usually called the "Bohmian Mechanics". Similar arguments apply to other two well known mathematical theorems, namely, of Gleason, and of Kochen and Specker, which have often been seen as equally proving the impossibility of the existence of "hidden variables" in Quantum Mechanics.

연구 동기 및 목표

• von Neumann의 기대값이 모든 관측가능량(비가환인 경우 포함)에 대해 실선형이어야 한다는 가정이 물리적으로 타당한지 검토한다.
• von Neumann의 정리가 은닉 변수 이론을 배제하지 못함을 보여주며, 핵심 가정이 물리적 근거가 없음을 입증한다.
• 브롬의 역학이 정리의 결론에 대한 유효한 반례를 제공함으로써 은닉 변수가 존재할 수 있음을 보여준다.
• 글레존과 코헨-스피커의 정리와 같은 다른 금지 정리들에도 이 critique를 확장한다. 이 정리들은 유사한 문제를 안고 있는 가정에 기반한다.
• von Neumann의 정리가 수학적으로 정확하더라도, 비가환 관측가능량에 적용될 경우 물리적 필연성은 보장되지 않음을 명확히 한다.

제안 방법

• von Neumann의 정리를 분석하여 세 가지 핵심 가정을 파악한다: 정규화(E(ψ,1)=1), 실선형성(E(ψ,αA+βB)=αE(ψ,A)+βE(ψ,B)), 그리고 양성도(E(ψ,P)≥0, 프로젝션에 대해).
• 복소선형성에 기반해 기댓값 기능 E를 헤르미트 연산자에서 모든 유계 연산자로 확장한다. 이때 A = A₊ + iA₋ 분해를 사용한다.
• 모든 A에 대해 E(ψ,A) = Tr(U_ψ A)임을 보여주기 위해, 단위 프로젝션의 기댓값들로부터 밀도 연산자 U_ψ를 구성한다.
• 양성도와 정규화 조건을 적용하여 U_ψ가 유효한 밀도 연산자(비음수, 추적값이 1)임을 증명한다.
• 비가환 관측가능량(예: σ_x, σ_y, σ_b = (σ_x + σ_y)/√2)에 선형성 가정을 적용할 경우 모순이 발생함을 밝힌다.
• 예를 들어 ±1/2 = (±1/2 ± 1/2)/√2와 같은 고유값 할당의 모순을 이용하여, 비가환 관측가능량에 대해 선형성을 적용할 경우 비현실적인 결과가 도출됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 von Neumann이 모든 관측가능량(비가환인 경우 포함)에 대해 기대값의 실선형성을 요구하는 가정이 물리적으로 타당한가?
• RQ2 von Neumann의 정리가 실제로 양자역학에서 은닉 변수의 존재를 금지하는가?
• RQ3 브롬의 역학과 같은 반례를 구성함으로써 von Neumann의 정리에 대한 반례를 제시할 수 있는가? 이는 은닉 변수의 존재 가능성을 보여준다.
• RQ4 글레존과 코헨-스피커의 정리와 같은 다른 금지 정리들도 유사한 기초 가정의 결함을 겪는가?
• RQ5 비가환 관측가능량에 선형성을 적용할 경우 물리적 결과는 무엇이며, 왜 이는 측정 결과의 모순을 초래하는가?

주요 결과

• von Neumann의 정리는 수학적으로 정확하지만, 모든 관측가능량(가환 여부에 관계없이)에 대해 기대값의 실선형성을 요구하는 물리적으로 비합리한 가정에 기반한다.
• 이 가정은 비가환 관측가능량(예: σ_x와 σ_y)에 적용될 경우 모순을 야기한다. 예를 들어 ±1/2 = (±1/2 ± 1/2)/√2와 같은 불가능한 고유값 관계를 암시하기 때문이다.
• 모든 프로젝션 연산자 P_χ에 대해 E(ψ,P_χ)가 상수(0 또는 1)여야 한다는 조건은, U_ψ가 0이거나 추적값이 M이어야만 Tr(U_ψ)=1을 만족하므로 정규화 조건을 위반한다.
• 브롬의 역학은 von Neumann의 결론에 대한 구체적인 반례를 제공하며, 양자 예측을 위반하지 않으면서도 은닉 변수가 존재할 수 있음을 보여준다.
• 동일한 비판은 글레존과 코헨-스피커의 정리에도 적용되며, 이 정리들도 물리적으로 필수적이거나 합리적이지 않은 가정에 기반한다.
• 논문은 이러한 정리들로는 은닉 변수의 부재를 증명할 수 없다고 결론내리며, 그 기초 가정이 물리적으로 타당하지 않다는 점을 강조한다.