[논문 리뷰] What's wrong with the growth of simple closed geodesics on nonorientable hyperbolic surfaces

Matthieu Gendulphe|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 27.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 41인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 비가 orientable인 하이퍼볼릭 표면에서 단순 폐곡선에 대한 Mirzakhani의 점 渐近 성장 법칙이 실패하는 이유를 조사한다. 이는 측도가 부여된 리만 레이어닝에 대한 매핑 클래스 군의 비최소 작용과 한쪽 방향 곡선의 존재로 인해, 길이 ≤ L 인 이러한 곡선의 수가 L의 어떤 양의 거듭제곱보다도 느리게 증가하기 때문이다. 모듈리 공간은 무한한 테이히뮐러 및 위르-피터슨 체적을 지닌다. 이는 유한 체적 기하학적으로 유한한 오비폴드와 유사하다.

ABSTRACT

A celebrated result of Mirzakhani states that, if $(S,m)$ is a finite area \\emph{orientable} hyperbolic surface, then the number of simple closed geodesics of length less than $L$ on $(S,m)$ is asymptotically equivalent to a positive constant times $L^{\\dim\\mathcal{ML}(S)}$, where $\\mathcal{ML}(S)$ denotes the space of measured laminations on $S$. We observed on some explicit examples that this result does not hold for \\emph{nonorientable} hyperbolic surfaces. The aim of this article is to explain this surprising phenomenon. Let $(S,m)$ be a finite area \\emph{nonorientable} hyperbolic surface. We show that the set of measured laminations with a closed one--sided leaf has a peculiar structure. As a consequence, the action of the mapping class group on the projective space of measured laminations is not minimal. We determine a partial classification of its orbit closures, and we deduce that the number of simple closed geodesics of length less than $L$ on $(S,m)$ is negligible compared to $L^{\\dim\\mathcal{ML}(S)}$. We extend this result to general multicurves. Then we focus on the geometry of the moduli space. We prove that its Teichm\\"uller volume is infinite, and that the Teichm\\"uller flow is not ergodic. We also consider a volume form introduced by Norbury. We show that it is the right generalization of the Weil--Petersson volume form. The volume of the moduli space with respect to this volume form is again infinite (as shown by Norbury), but the subset of hyperbolic surfaces whose one--sided geodesics have length at least $\\varepsilon>0$ has finite volume. These results suggest that the moduli space of a nonorientable surface looks like an infinite volume geometrically finite orbifold. We discuss this analogy and formulate some conjectures.

연구 동기 및 목표

• 비가 orientable인 하이퍼볼릭 표면에서 Mirzakhani의 단순 폐곡선에 대한 점 渐近 성장 공식이 실패하는 이유를 설명하는 것.
• 한쪽 방향 잎을 포함하는 측도가 부여된 리만 레이어닝의 구조와 그것이 매핑 클래스 군 작용에 미치는 영향을 분석하는 것.
• 비가 orientable 표면에서 단순 폐곡선 및 일반적인 다중곡선의 성장률을 결정하는 것.
• 비가 orientable인 하이퍼볼릭 표면의 모듈리 공간의 테이히뮐러 및 위르-피터슨 체적을 연구하는 것.
• 비가 orientable 표면의 모듈리 공간이 무한 체적 기하학적으로 유한한 오비폴드와 어떻게 유사한지 탐색하는 것.

제안 방법

• 측도가 부여된 리만 레이어닝의 사영 공간에서 매핑 클래스 군의 작용을 분석하여, 한쪽 방향 잎으로 인해 비최소 궤도 폐쇄가 발생하는 것을 밝힘.
• 펜클-니엘슨 좌표계와 정교하게 구성된 벡터장 흐름을 사용하여 테이히뮐러 공간에서의 변형 수축을 구성함.
• 테이히뮐러 공간의 얇은 부분에 대한 좋은 열린 덮개를 한쪽 방향 다중곡선을 이용해 구성하고, 이가 한쪽 방향 곡선의 복합체와 호모토피 동치임을 보임.
• 주어진 다중곡선과 분리된 곡선의 길이를 증가시키는 흐름을 구성하여, 컴act 부분공간으로의 변형 수축을 가능하게 함.
• 측도가 부여된 리만 레이어닝 이론과 터스턴의 컴actification을 활용하여, Mirzakhani의 수세기 측도 접근법을 비가 orientable 경우로 확장함.
• 모듈리 공간의 기하학을 기하학적으로 유한한 오비폴드와 비교하여, 체적 형식과 점 渐近 체적 성장률을 사용함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가 orientable인 하이퍼볼릭 표면에서 단순 폐곡선의 점 渐近 성장률이 왜 Mirzakhani의 다항식 법칙을 따르지 않는가?
• RQ2 비가 orientable 표면에서 한쪽 방향 잎을 포함하는 측도가 부여된 리만 레이어닝 공간의 구조는 어떠한가?
• RQ3 비가 orientable 표면에서 매핑 클래스 군의 작용이 사영 측도 리만 레이어닝 공간에서 방향성 표면과 어떻게 다를까?
• RQ4 비가 orientable인 하이퍼볼릭 표면의 모듈리 공간의 테이히뮐러 및 위르-피터슨 체적은 얼마인가?
• RQ5 비가 orientable 표면의 모듈리 공간이 무한 체적 기하학적으로 유한한 오비폴드와 어느 정도 유사한가?

주요 결과

• 비가 orientable인 하이퍼볼릭 표면에서 길이 ≤ L 인 단순 폐곡선의 수는 L의 어떤 양의 거듭제곱보다도 느리게 증가하며, 정규화된 수의 극한은 0이다.
• 측도가 부여된 리만 레이어닝의 사영 공간에서 매핑 클래스 군의 작용은 한쪽 방향 잎의 존재로 인해 최소가 아니다.
• 비가 orientable 표면의 테이히뮐러 공간은 테이히뮐러 및 위르-피터슨 체적 형식 모두에서 무한 체적을 가진다.
• 길이 ≥ ε > 0 인 한쪽 방향 곡선을 포함하는 하이퍼볼릭 표면의 부분공간은 Norbury의 체적 형식 하에 유한 체적을 가지며, 이는 기하학적으로 유한한 구조를 시사한다.
• 테이히뮐러 공간의 얇은 부분의 경계는 한쪽 방향 다중곡선의 복합체와 호모토피 동치이다.
• 비가 orientable 표면의 모듈리 공간은 무한 체적 기하학적으로 유한한 오비폴드처럼 행동하며, 이는 동역학과 체적 성장에 영향을 미친다.