[논문 리뷰] When are Duality Defects Group-Theoretical?

Zhengdi Sun, Yunqin Zheng|arXiv (Cornell University)|2023. 07. 26.

Black Holes and Theoretical Physics인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 2차원에서 $\mathbb{Z}_N^{(0)}$ 및 4차원에서 $\mathbb{Z}_N^{(1)}$ 유한 아벨 대칭을 게이지화할 때 관련된 이중성 결함이 군론적일 조건을 결정한다. 즉, 가역 대칭에서의 이상성 유입을 통해 구성 가능한지 여부를 분석한다. 이 결함들이 군론적임은 그들의 대칭 위상장이론(SymTFT)이 다이크그라프-위튼 이론임과 정확히 동치이며, 이는 2차원에서는 $N$이 완전 제곱수일 때이고, 4차원에서는 $N = L^2M$ 이며 $-1$ 이 $M$ 모듈로 제곱 잔여물일 때 정확히 성립함을 보여준다. 명시적인 위상적 변환을 통해 이러한 비가역적 결함들을 가역적 결함으로 매핑한다.

ABSTRACT

A quantum field theory with a finite abelian symmetry $G$ may be equipped with a non-invertible duality defect associated with gauging $G$. For certain $G$, duality defects admit an alternative construction where one starts with invertible symmetries with certain 't Hooft anomaly, and gauging a non-anomalous subgroup. This special type of duality defects are termed group theoretical. In this work, we determine when duality defects are group theoretical, among $G=\mathbb{Z}_N^{(0)}$ and $\mathbb{Z}_N^{(1)}$ in $2$d and 4d quantum field theories, respectively. A duality defect is group theoretical if and only if its Symmetry TFT is a Dijkgraaf-Witten theory, and we argue that this is equivalent to a certain stability condition of the topological boundary conditions of the $G$ gauge theory. By solving the stability condition, we find that a $\mathbb{Z}_N^{(0)}$ duality defect in 2d is group theoretical if and only if $N$ is a perfect square, and under certain assumptions a $\mathbb{Z}_N^{(1)}$ duality defect in 4d is group theoretical if and only if $N=L^2 M$ where $-1$ is a quadratic residue of $M$. For these subset of $N$, we construct explicit topological manipulations that map the non-invertible duality defects to invertible defects. We also comment on the connection between our results and the recent discussion of obstruction to duality-preserving gapped phases.

연구 동기 및 목표

• 이중성 결함이 유한 아벨 대칭을 게이지화할 때 군론적일 조건을 규명하는 것.
• 이중성 결함의 대칭 위상장이론(SymTFT)이 다이크그라프-위튼 이론과 동치가 되는 조건을 규명하는 것.
• 군론적 이중성 결함과 $G$-게이지 이론에서의 위상적 경계 조건의 안정성 간의 연결 고리를 설정하는 것.
• 특정 $N$에 대해 비가역적 이중성 결함을 가역적 결함으로 매핑하는 명시적인 위상적 변환을 구성하는 것.
• 이중성 결함의 군론적 성격이 이중성 보존 gapped 상태를 형성하는 데 발생하는 차단 요소와 어떻게 관련되는지 규명하는 것.

제안 방법

• 이중성 결함의 SymTFT를 분석하고, 이가 다이크그라프-위튼 이론과 일치할 조건을 규명함으로써 군론적 이중성 결함를 특성화함.
• 군론적 이중성 결함는 그 SymTFT가 다이크그라프-위튼 이론일 때에만 성립한다는 조건을, $G$-게이지 이론의 위상적 경계 조건의 구조에서 유도함.
• 2차원의 3차원 $\mathbb{Z}_N$ 게이지 이론과 4차원의 5차원 $\mathbb{Z}_N$ 2형식 게이지 이론에서 라그랑주 부분군의 안정성 조건을 해결하여 允가된 $N$을 규명함.
• 홀수 $N$에 대해 $k^2 \equiv -1 \pmod{N}$ 이고, 짝수 $N$에 대해 $k^2 \equiv -1 \pmod{2N}$ 이 되는 조건을 적용하여 $\mathbb{Z}_4^{\text{em}}$ 대칭이 라그랑주 부분군을 유지하는지 판단함.
• 위상적 보정 $J$ 와 관련된 $N$, $p$, $q$ 에 따라 변화하는 위상적 인자와 함께 표면 연산자 $\widetilde{S}_{(p,q)}(\sigma)$ 를 사용하여 비가역적 결함을 가역적 결함으로 매핑하는 명시적 위상적 변환을 구성함.
• 짝수 $N$의 경우 위상적 보정을 다루기 위해 확장된 전하 공간 $\mathbb{Z}_{2N}$ 를 사용하고, 스핀 다양체에서는 $\mathbb{Z}_N$ 으로 축소하여 $k^2 \equiv -1 \pmod{N}$ 조건을 복원함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 양자장 이론에서 $\mathbb{Z}_N^{(0)}$ 이중성 결함이 군론적일 조건은 무엇인가?
• RQ2 4차원 양자장 이론에서 $\mathbb{Z}_N^{(1)}$ 이중성 결함이 군론적일 조건은 무엇인가?
• RQ3 이중성 결함의 대칭 TFT가 다이크그라프-위튼 이론이 되도록 보장하는 $N$에 대한 정확한 수학적 조건은 무엇인가?
• RQ4 군론적 경우에서 위상적 변환은 비가역적 이중성 결함을 어떻게 가역적 결함으로 매핑하는가?
• RQ5 군론적 이중성 결함과 이중성 보존 gapped 상태 형성에 대한 장애 요소 간의 연결 고리는 무엇인가?

주요 결과

• 2차원에서 $\mathbb{Z}_N^{(0)}$ 이중성 결함는 $N$ 이 완전 제곱수일 때에만 군론적이다.
• 4차원에서 $\mathbb{Z}_N^{(1)}$ 이중성 결함는 특정 가정 하에 $N = L^2M$ 이며 $-1$ 이 $M$ 모듈로 제곱 잔여물일 때에만 군론적이다.
• 이중성 결함의 군론적 성격은 그 SymTFT가 다이크그라프-위튼 이론임과 정확히 동치이며, 이는 라그랑주 부분군이 $\mathbb{Z}_4^{\text{em}}$ 대칭에 대해 안정함을 의미한다.
• 홀수 $N$에 대해 $k^2 \equiv -1 \pmod{N}$ 조건은 $\mathbb{Z}_4^{\text{em}}$ 대칭이 라그랑주 부분군을 유지하기 위해 필수적이고 충분하며, 이는 특수한 경우 $L=1$ 에 해당한다.
• 짝수 $N$에 대해 $k^2 \equiv -1 \pmod{2N}$ 은 해가 없지만, 스핀 다양체에서는 조건이 $k^2 \equiv -1 \pmod{N}$ 으로 축소되며, 이는 $-1$ 이 $N$ 모듈로 제곱 잔여물일 때 해가 존재함을 의미한다.
• 군론적 조건을 만족하는 $N$ 에 대해, 위상적 보정 $J$ 와 관련된 $N$, $p$, $q$ 에 따라 변화하는 위상적 인자와 함께 표면 연산자 $\widetilde{S}_{(p,q)}(\sigma)$ 를 사용하여 비가역적 이중성 결함를 가역적 결함으로 매핑하는 명시적 위상적 변환을 구성함.