[논문 리뷰] Whitehead products in symplectomorphism groups and Gromov-Witten invariants

Olguţa Buşe|ArXiv.org|2004. 11. 05.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 10인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 심플렉틱 룰드 표면에 대한 등변 Gromov-Witten 불변량을 계산하고, 이를 통해 심플렉토모르피즘 군의 호모토플리프 그룹에서 비자명한 고차 Whitehead 곱을 탐지한다. 이러한 불변량을 심플렉틱 피브리게이션과 매개변수 Gromov-Witten 불변량과 연결함으로써, $g \geq 0$ 에서 $\pi_*G^{g}_{\lambda} \otimes \mathbb{Q}$ 내에서 비자명한 Samelson 곱의 비자명성을 증명한다. 특히 $g=1$ 인 경우 McDuff 가 제기한 질문을 해결하고, Abreu-McDuff 가 연구한 $BG^{0}_{\lambda}$ 의 유리수 코homology 링에 대한 새로운 해석을 제공한다.

ABSTRACT

Consider any symplectic ruled surface $(M^g_λ,ω_λ)$ given by $(Σ_g imes S^2, λσ_{Σ_g} \oplus σ_{S^2})$. We compute all natural equivariant Gromov-Witten invariants $EGW_{g,0}(M^g_λ;H_k, A-kF)$ for all hamiltonian circle actions $H_k$ on $M^g_λ$, where $A=[Σ_g imes pt]$ and $F= [pt imes S^2]$. We use these invariants to show the nontriviality of certain higher order Whitehead products that live in the homotopy groups of the symplectomorphism groups $G_λ^g$, $g \geq 0$. Our results are sharper when $g=0,1$ and enable us to answer a question posed by D.McDuff in the case $g=1$ and provide a new interpretation of the multiplicative structure in the ring $H^*(BG^0_λ ;\Q)$ found by Abreu-McDuff.

연구 동기 및 목표

• 심플렉틱 룰드 표면 $M^g_{\lambda} = \Sigma_g \times S^2$ 에서 해밀토니안 원 작용에 대한 자연스러운 등변 Gromov-Witten 불변량을 계산한다.
• 이들 불변량을 사용하여 심플렉토모르피즘 군 $G^g_\lambda$ 의 호모토플리프 그룹에서 비자명한 고차 Whitehead 곱을 탐지한다.
• D. McDuff 가 [13] 에서 제기한 $\pi_*G^1_\lambda$ 내 비자명한 Samelson 곱에 관한 질문을 해결한다.
• Abreu-McDuff 가 연구한 $H^*(BG^0_{\lambda}; \mathbb{Q})$ 의 유리수 코homology 링에 대한 새로운 해석을 제공한다.

제안 방법

• 심플렉틱 룰드 표면 $M^g_\lambda$ 에서 해밀토니안 원 작용 $H_k$ 에 대해 등변 Gromov-Witten 불변량 $EGW^{J^{(k),g}}_{g,0}(M^g_\lambda; H_k; s_{A-kF})$ 를 계산한다.
• 핵심 입력으로서 $EGW^{J^{(k),g}}_{g,0}(M^g_\lambda; H_k; s_{A-kF}) = \pm 1 \cdot \mathrm{u}^{2k+g-1}$ 이 $H^*(BS^1, \mathbb{Q})$ 에서 성립함을 이용한다.
• 이들 불변량을 $\mathbb{C}P^n$ 위의 심플렉틱 피브리게이션에 대한 매개변수 Gromov-Witten 불변량(PGW)과 연결한다.
• 심플렉틱 피브리게이션과 호모토플리프 그룹의 장긴 정렬 수열을 이용한 장애이론적 방법을 적용하여 $\pi_*BG^g_\lambda$ 내 비자명 원소를 탐지한다.
• 큰 $\lambda$ 에서의 변형 논증과 피브리게이션의 동치류를 이용하여, 비자명성 가정으로부터 모순을 이끌어낸다.
• Gromov, Abreu, McDuff 의 결과 및 거의 복소수構조의 분할을 이용하여 $G^g_\lambda$ 의 위상수학적 성질을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 룰드 표면에 대해 심플렉토모르피즘 군 $G^g_\lambda$ 의 호모토플리프 그룹 내에서 비자명한 고차 Whitehead 곱이 존재하는가?
• RQ2 등변 Gromov-Witten 불변량은 $\pi_*G^g_\lambda \otimes \mathbb{Q}$ 내 비자명한 Samelson 곱을 탐지할 수 있는가?
• RQ3 매개변수 Gromov-Witten 불변량은 심플렉토모르피즘 군 내 위상적 장애를 탐지할 수 있는가?
• RQ4 이들 불변량을 통해 $H^*(BG^0_\lambda; \mathbb{Q})$ 의 유리수 코homology 링을 재해석할 수 있는가?
• RQ5 연속적인 맵의 가속 가속도 $\beta_\lambda$ 가 $BG^g_\lambda$ 내에서 비자명하게 유지되는 값 $\lambda_0$ 가 존재하는가?

주요 결과

• 등변 Gromov-Witten 불변량 $EGW^{J^{(k),g}}_{g,0}(M^g_\lambda; H_k; s_{A-kF})$ 는 $H^*(BS^1, \mathbb{Q})$ 에서 $\pm 1 \cdot \mathrm{u}^{2k+g-1}$ 로 평가되며, 이는 그 비자명성을 증명한다.
• $g=1$ 인 경우, $\widetilde{\gamma} \in \pi_1G^1_1$ 가 존재하여 Samelson 곱 $[\widetilde{\gamma}, \widetilde{\gamma}]_s \in \pi_2G^1_1$ 는 비자명하지만 $\lambda > 1$ 에서는 0이 된다.
• $g=0$ 이고 $k < \lambda \leq k+1$ 인 경우, $\pi_{4k}(G^0_{k+1})$ 내에서 순서 $2k+1$ 의 비자명한 Samelson 곱이 존재하며, 비자명한 이미지 $\widetilde{w}_k$ 를 가지나 $\lambda > k+1$ 에서는 사라진다.
• $g \geq 2$ 이고 $k > [g/2]$ 인 경우, $\pi_{2p-2}(G^g_k)$ 내에서 순서 $p$ 의 비영 불변량이 존재하며, 이는 $g \leq p \leq 2k+g-1$ 를 만족한다.
• 연속적인 맵의 가속 가속도 $\beta_\lambda$ 가 $BG^g_\lambda$ 내에서 비자명하게 유지된다는 가정은 모순을 야기하며, 이는 비자명성이 사라지는 임계값 $\lambda_0$ 가 존재함을 시사한다.
• 모순은 두 피브리게이션의 $2k+g-1$-스켈레톤 구조가 서로 동치일 경우 매개변수 GW 불변량도 동치여야 하지만, 한쪽은 클래스 $A-kF$ 에서 비자명하고 다른 한쪽은 자명하다는 사실에서 기인한다.