[논문 리뷰] Whittaker Functions and Demazure Operators

Ben Brubaker, Daniel Bump외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 17.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 12인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 $p$-진군의 표현 이론에서 Iwahori 고정 Whittaker 함수와 Demazure 연산자 사이의 정확한 연결 고리를 약간의 아핀 히브 기반을 통해 설정한다. 표준 Iwahori 고정 Whittaker 벡터 기저는 $q^{-1} \to 0$로의 전문화 시 Demazure 문자로 변환되며, Bott-Samelson 분해와 관련된 보정 항을 가진 Demazure-Lusztig 연산자를 사용하는 재귀적 알고리즘을 제공함으로써 모든 웨일 군 원소에 대해 Whittaker 함수에 대한 통일된 공식을 제시한다.

ABSTRACT

We consider a natural basis of the Iwahori fixed vectors in the Whittaker model of an unramified principal series representation of a split semisimple p- adic group, indexed by the Weyl group. We show that the elements of this basis may be computed from one another by applying Demazure-Lusztig operators. The precise identities involve correction terms, which may be calculated by a combinatorial algorithm that is identical to the computation of the fibers of the Bott-Samelson resolution of a Schubert variety. The Demazure-Lusztig operators satisfy the braid and quadratic relations satisfied by the ordinary Hecke operators, and this leads to an action of the affine Hecke algebra on functions on the maximal torus of the L-group. This action was previously described by Lusztig using equivariant K-theory of the flag variety, leading to the proof of the Deligne-Langlands conjecture by Kazhdan and Lusztig. In the present paper, the action is applied to give a simple formula for the basis vectors of the Iwahori Whittaker functions.

연구 동기 및 목표

• 분할된 $p$-진군의 무분할 주요 시리즈 표현에서 Iwahori 고정 Whittaker 벡터의 구조를 이해하기 위해.
• Demazure 연산자를 사용하여 모든 웨일 군 원소에 대해 원소에 대한 Whittaker 함수에 대한 통일된 공식을 수립하기 위해.
• 아핀 히브 기반을 통해 $p$-진군의 표현 이론과 플래그 다양체 및 슈부르트 다양체의 위상수학을 연결하기 위해.
• Demazure-Lusztig 연산자와 Bott-Samelson 분해에서 유도된 보정 항을 사용하여 Whittaker 함수를 계산하는 재귀적 알고리즘을 제공하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 웨일 군 $W$에 따라 인덱싱된 Iwahori 고정 벡터의 기저 $\tilde{\Phi}_w^\tau$를 정의하며, 브라하트 순서를 이용해 표준 기저 벡터 $\Phi_w^\tau$의 합으로 구성한다.
• 그들은 Demazure-Lusztig 연산자를 적용하여 기저 벡터 $\tilde{\Phi}_w^\tau$ 간의 관계를 규명하며, 이 작용이 아핀 히브 대수의 브레인 및 이차 관계를 만족함을 보인다.
• Whittaker 함수 $\mathcal{W}_\tau(\tilde{\Phi}_w^\tau)$는 아핀 히브 대수의 작용을 통해 $\mathbb{C}[v,v^{-1}] \otimes \mathcal{O}(\hat{T})$에 정의되며, $\hat{T}$는 Langlands 쌍대군의 최대 토르스이다.
• Demazure 연산자 작용에서의 보정 항은 슈부르트 다양체의 Bott-Samelson 분해의 섬유와 대응됨을 보였다.
• 전문화 $q^{-1} \to 0$는 Whittaker 함수를 Demazure 문자로 변환하며, $p$-진 표현 이론과 슈부르트 코hom로지 사이의 연결 고리를 제공한다.
• 저자들은 히브 대수에서의 Kazhdan-Lusztig 기저 $C_w'$를 사용하여 $\boldsymbol{C}_w(\lambda) = v^{l(w)/2} C_w' \cdot \boldsymbol{z}^\lambda$를 정의하고, 이를 $\boldsymbol{X}_w(\lambda)$와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Iwahori 고정 Whittaker 벡터는 $p$-진군의 맥락에서 Demazure 연산자와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 아핀 히브 기반은 $p$-진군 표현 이론과 슈부르트 다양체를 어떻게 연결하는가?
• RQ3 모든 웨일 군 원소에 대해 원소에 대한 Whittaker 함수에 대해 통일된 공식을 제시할 수 있는가?
• RQ4 Demazure 연산자 작용에서의 보정 항의 기하학적 의미는 무엇인가?
• RQ5 Whittaker 함수가 Kazhdan-Lusztig 기저와 일치하는 경우는 언제이며, 이는 슈부르트 다양체에 대해 어떤 의미를 갖는가?

주요 결과

• 특성화 $q^{-1} \to 0$에서 Whittaker 함수 $\mathcal{W}_\tau(\tilde{\Phi}_w^\tau)(a_\lambda)$는 Theorem 18에 따라 Demazure 문자로 변환된다.
• Demazure-Lusztig 연산자는 Iwahori 고정 Whittaker 벡터에 대해 보정 항을 가진 채로 작용하며, 이는 슈부르트 다양체의 Bott-Samelson 분해의 섬유와 정확히 일치한다.
• 아핀 히브 대수의 작용은 $\mathbb{C}[v,v^{-1}] \otimes \mathcal{O}(\hat{T})$에 대해 맵 $\xi_\lambda$를 통해 실현되며, 이는 $\mathcal{H}_v$-모듈러 스터링이다.
• $\boldsymbol{z}^{-\rho}$는 $\mathcal{H}_v$-불변인 일차원 부분공간을 생성하며, 이는 부호 표현을 제공한다. 전체 모듈 $\mathbb{C}[v,v^{-1}] \otimes \mathcal{O}(\hat{T})$는 이 부호 표현으로부터 유도된 표현과 동형이다.
• $\boldsymbol{X}_w(\lambda)$와 $\boldsymbol{C}_w(\lambda)$는 슈부르트 다양체 $X_w$가 유리적으로 매끄럽을 때이고 그 때에만 일치한다. Proposition 30에서 이를 입증하였다.
• Whittaker 함수의 재귀적 구조는 브라하트 순서에 의해 규정되며, $T_i$ 작용이 $\boldsymbol{z}^{-\rho}$에 대해 $-\boldsymbol{z}^{-\rho}$를 주므로 부호 표현임을 확인한다.