[논문 리뷰] Why Are the ARIMA and SARIMA not Sufficient

Shixiong Wang, Chongshou Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 16.

Neural Networks and Applications참고 문헌 7인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 ARIMA 및 SARIMA 모델이 차분 연산자로 인한 스펙트럼 왜곡으로 인해 비정상 시계열에 대해 이론적으로 부적절하다고 주장한다. 스펙트럼 분석과 디지털 필터링을 활용하여 의미 있는 주파수를 유지하면서 광의의 정상성(weak-sense stationarity)을 달성하는 일반화된 모델인 ARMA-SIN을 제안한다. 이는 스펙트럼 정밀도와 예측 정확도에서 S-ARIMA를 능가한다.

ABSTRACT

The autoregressive moving average (ARMA) model takes the significant position in time series analysis for a wide-sense stationary time series. The difference operator and seasonal difference operator, which are bases of ARIMA and SARIMA (Seasonal ARIMA), respectively, were introduced to remove the trend and seasonal component so that the original non-stationary time series could be transformed into a wide-sense stationary one, which could then be handled by Box-Jenkins methodology. However, such difference operators are more practical experiences than exact theories by now. In this paper, we investigate the power of the (resp. seasonal) difference operator from the perspective of spectral analysis, linear system theory and digital filtering, and point out the characteristics and limitations of (resp. seasonal) difference operator. Besides, the general method that transforms a non-stationary (the non-stationarity in the mean sense) stochastic process to be wide-sense stationary will be presented.

연구 동기 및 목표

• ARIMA 및 SARIMA 모델이 비정상 시계열을 광의의 정상 과정으로 변환하는 데 있어 이론적 한계를 규명하는 것.
• 선형 시스템 이론과 디지털 필터링 원리를 활용하여 차분 및 계절적 차분 연산자의 스펙트럼 영향을 분석하는 것.
• 의미 있는 주파수 성분을 왜곡하지 않으면서 비정상 확률 과정을 광의의 정상 과정으로 변환하는 일반적인 방법을 개발하는 것.
• ARMA-SIN을 S-ARIMA의 일반화된, 이론적으로 타당한 대안으로 제안하여 스펙트럼의 정합성을 유지하는 것.
• 스펙트럼 분석과 필터링을 통해 ARMA-SIN이 기저 역학을 더 잘 유지하고 추정함으로써 S-ARIMA를 능가함을 입증하는 것.

제안 방법

• 비정상 시계열을 광의의 정상 과정으로 변환하는 데 스펙트럼 분석과 디지털 필터링을 활용한다.
• 주파수 도메인에서 차분 연산자의 행동을 분석하기 위해 선형 시스템 이론을 적용한다.
• 이산 푸리에 변환(DFT)과 역이산 푸리에 변환을 기반으로 한 맞춤형 디지털 필터를 설계하여 특정 스펙트럼 성분을 고립하고 유지한다.
• 두 단계 필터링 방법을 사용한다: 먼저 저주파 성분을 제거하여 추세를 제거하고, 그 다음에 필터링된 신호에 대해 ARMA 모델링을 통해 정상 잔차를 추정한다.
• 주요 주파수를 식별하고 앰플리튜드 및 단위를 추정하여 정현파 성분을 추출하기 위해 빠른 푸리에 변환(FFT)을 활용한다.
• 필터링된 신호의 잔차 ARMA 모델과 추정된 스펙트럼 성분을 조합하여 ARMA-SIN 모델을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ARIMA 및 SARIMA의 차분 및 계절적 차분 연산자가 광범위하게 사용되지만 왜 스펙트럼 왜곡을 일으키는가?
• RQ2 비정상 시계열에서 광의의 정상성을 달성하기 위해 차분 연산자를 사용할 때의 이론적 한계는 무엇인가?
• RQ3 의미 있는 주파수 성분을 왜곡하지 않으면서 비정상 확률 과정을 광의의 정상 과정으로 변환할 수 있는 일반적인 변환 방법은 어떻게 설계할 수 있는가?
• RQ4 ARMA-SIN은 스펙트럼 특성을 유지하고 예측 정확도를 향상시키는 데서 S-ARIMA를 어떻게 능가하는가?
• RQ5 디지털 필터링은 시계열 정상성에 대해 더 정밀하고 이론 기반의 접근을 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• ARIMA 및 SARIMA의 차분 및 계절적 차분 연산자는 특히 $ w = 2k\pi/12 $ 근처의 핵심 주파수에서 스펙트럼 성분을 왜곡하여 의미 있는 신호 정보를 손실시킨다.
• SARIMA의 12라그 계절적 차분 연산자는 계절 성분을 효과적으로 제거하지만, $ w = 2\pi/12 $ 에서 스펙트럼을 크게 왜곡한다.
• ARMA-SIN은 원래 시계열의 스펙트럼 성분을 유지하며, DFT 분 析를 통해 확인된 lin $ w = 0.2001 $ 에서 앰플리튜드 $ A = 0.9721 $, 위상 $ \varphi = -1.5440 $ 인 임펄스를 포함한다.
• 그림 7에서 보듯이, ARMA-SIN은 스펙트럼 추정에서 S-ARIMA보다 더 우수한 성능을 보이며, 신호 스펙트럼의 정합성을 유지한다.
• ARMA-SIN은 일반적인 차분 대신 타겟팅된 디지털 필터링을 사용함으로써 스펙트럼 누설과 왜곡을 피하므로 S-ARIMA보다 이론적으로 열등하지 않다.
• 제안된 방법은 스펙트럼 콘텐츠에 기반한 선택적 필터링을 允허함으로써 S-ARIMA를 일반화하여 비정상 과정의 더 정확한 모델링을 가능하게 한다.