[논문 리뷰] Why Linear Programming cannot solve large instances of NP-complete problems in polynomial time

Radosław Hofman|ArXiv.org|2006. 11. 02.

Advanced Optimization Algorithms Research참고 문헌 13인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 최근 대규모 선형계획법(선형계획형식, LP)을 사용한 성공 사례(변수 수 O(n⁹))에도 불구하고, 선형계획법(LP)이 다항시간 내에 NP-완전 문제의 큰 인스턴스를 해결할 수 없다고 증명한다. LP는 P에 속하지만, 그 응용은 NP-완전 문제에 대해 본질적인 구조적 제약으로 인해 점점 커지는 크기의 문제에서는 실패한다. 이는 작은 크기의 합리적인 인스턴스는 대부분 정확히 해결할 수 있지만, 일반화된 해법은 성립하지 않는다는 것을 의미한다.

ABSTRACT

This article discusses ability of Linear Programming models to be used as solvers of NP-complete problems. Integer Linear Programming is known as NP-complete problem, but non-integer Linear Programming problems can be solved in polynomial time, what places them in P class. During past three years there appeared some articles using LP to solve NP-complete problems. This methods use large number of variables (O(n^9)) solving correctly almost all instances that can be solved in reasonable time. Can they solve infinitively large instances? This article gives answer to this question.

연구 동기 및 목표

• 최근의 성공 사례에도 불구하고, 선형계획법이 NP-완전 문제를 다항시간 내에 해결할 수 있는지 조사하는 것.
• NP-완전 문제를 해결하기 위해 사용된 대규모 선형계획법 형식(예: O(n⁹) 변수)의 한계를 분석하는 것.
• 선형계획법이 작은 문제나 중간 크기 문제에서는 작동하더라도, 임의로 큰 인스턴스를 처리할 수 없다는 점을 입증하는 것.
• 선형계획법이 NP-완전성의 본질을 포괄하지 못함을 보여줌으로써, P와 NP 사이의 이론적 경계를 명확히 하는 것.

제안 방법

• NP-완전 문제에 대해 제안된 선형계획법 형식의 구조를 분석하며, 특히 O(n⁹) 변수를 가진 형식을 중심으로 다룬다.
• 이론적 복잡도 이론을 적용하여 이러한 선형계획법 모델이 모든 인스턴스에 대해 다항시간으로 확장 가능한지 평가한다.
• 정수선형계획법이 NP-완전한 반면, 비정수 선형계획법은 P에 속한다는 사실을 이용해 이론적 격차를 드러낸다.
• 선형계획법의 본질적인 볼록성과 차원 제약으로 인해, NP-완전 문제의 전체 해공간을 시뮬레이션할 수 없다는 것을 입증한다.
• 선형계획법이 대부분의 작은 인스턴스는 정확히 해결할 수 있지만, 임의로 큰 인스턴스로 일반화할 수 없다는 것을 보여준다.
• 복잡도 이론적 추론을 활용하여, 변수 수가 얼마나 많아지든 선형계획법이 NP-완전성을 포괄할 수 없다는 점을 주장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 O(n⁹) 변수를 가진 선형계획법 형식이 모든 NP-완전 문제의 인스턴스를 다항시간 내에 해결할 수 있는가?
• RQ2 작은 NP-완전 문제에 대해 성공한 선형계획법 기반 접근법이 왜 임의로 큰 인스턴스로 확장되지 못하는가?
• RQ3 선형계획법이 다항시간 내에 NP-완전 문제를 해결할 수 없도록 막는 근본적인 이론적 장벽이 존재하는가?
• RQ4 비정수 선형계획법이 다항시간 내에 해결 가능하다는 사실이, NP-완전 문제를 해결할 수 있음을 의미하는가?
• RQ5 선형계획법 형식을 확장하여 NP-완전 문제의 전체 복잡성을 포괄할 수 있는가?

주요 결과

• 선형계획법은 많은 작은 인스턴스를 정확히 해결할 수는 있지만, 모든 NP-완전 문제의 인스턴스를 다항시간 내에 해결할 수 없다.
• O(n⁹) 변수를 가진 선형계획법 형식은 중간 크기의 입력에서는 효과적이지만, 임의로 큰 인스턴스로는 확장되지 않는다.
• 선형계획법의 본질적인 볼록성과 차원 제약으로 인해, NP-완전 문제의 이산적이고 조합론적인 구조를 모델링할 수 없다.
• 비록 선형계획법이 P에 속하고 정수선형계획법이 NP-완전하더라도, 어떤 선형계획법 형식도 NP-완전 문제의 해공간을 시뮬레이션할 수 없다.
• 선형계획법이 다항시간 내에 NP-완전 문제를 해결할 수 없도록 막는 근본적인 이론적 장벽이 존재한다. 변수 수에 관계없이 성립한다.
• 이 논문은 선형계획법이 NP-완전 문제에 대한 일반적인 다항시간 해법으로 부적절하다고 결론 내린다.