[논문 리뷰] Zero divisors and L^p(G), II

Peter A. Linnell, Michael J. Puls|ArXiv.org|2000. 03. 28.

Rings, Modules, and Algebras참고 문헌 10인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 복소수 군 대수 ℂG의 영이 아닌 원소가 L^p(G) 위에서 컨볼루션을 통해 비자명하게 작용하는지 여부를 조사한다. 특히 자유 아벨군과 자유군에 초점을 맞춘다. 이러한 제로디바이저가 존재하는 p에 대한 날카운 임계값을 확립한다: ℤ^d에 대해서는 p ≤ 2d/(d−1)일 때 제로디바이저가 존재하지 않으며, 자유군 F_k에 대해서는 푸리에 변환의 스펙트럼 성질에 따라 임계값이 변하며, L^2 결과가 p > 2로 확장되지 않음을 보여준다.

ABSTRACT

Let G be a discrete group, let $p \ge 1$, and let $L^p(G)$ denote the Banach space $\{\sum_{g\in G} a_g g \mid \sum_{g\in G} |a_g|^p < \infty\}$. The following problem will be studied: given $0 e α\in CG$ and $0 e β\in L^p(G)$, is $α* β e 0$? We will concentrate on the case G is a free abelian or free group.

연구 동기 및 목표

• p ≥ 1 및 영이 아닌 α ∈ ℂG, β ∈ L^p(G)에 대해 컨볼루션 α*β가 영이 아닐 조건을 규명하기.
• 특히 ℤ^d 및 F_k에서 이산군에 대한 L^p(G)의 제로디바이저 문제를 해결하기.
• 푸리에 변환의 영점 집합과 상대적 영도와 같은 기하적 성질을 통해 p-제로디바이저를 특성화하기.
• 자유군에 대한 L^2 결과가 p > 2로 확장되지 않음을, 명시적 구성 방법을 통해 보여주기.

제안 방법

• d차원 토러스 𝕋^d에서의 푸리에 분석을 사용하여 ℂℤ^d에 속하는 α의 푸리에 변환의 영점 집합 Z(α)를 연구하기.
• 기하 분석을 적용하여 Z(α)를 상대적 영도 ν를 갖는 매끄러운 (d−1)-차원 부분다양체로 특성화하기.
• ν에 기반하여 ℤ^d에서의 p-제로디바이저에 대한 날카운 임계값 p > 2(d−ν)/(d−1−ν) 유도하기.
• 자유군 F_k에서의 명시적 예제를 구성하기 위해 군의 임bedding과 반경 함수를 사용하여 p > 2일 때 L^p(β)의 비퇴화성 실패를 보여주기.
• 양의 정부호 함수와 바나흐 공간 단사형사상을 사용하여 더 큰 군으로부터 F_k로 제로디바이저를 옮기기.
• α의 스펙트럼 간격을 기반으로 p(α) 함수를 정의하여 L^1_r(F_k)에서 α가 p-제로디바이저가 되는 p의 범위를 결정하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 영이 아닌 α ∈ ℂℤ^d 및 β ∈ L^p(ℤ^d)에 대해 α * β ≠ 0가 성립하는 p는 무엇인가?
• RQ2 𝕋^d에서의 푸리에 변환 영점 집합 Z(α)에 대한 어떤 기하적 조건이 ℤ^d에서 α가 p-제로디바이저가 되는지를 결정하는가?
• RQ3 자유군에 대한 L^2 비퇴화성 결과는 p > 2로 확장될 수 있는가?
• RQ4 자유군 F_k에서의 p-제로디바이저에 대한 날카운 임계값은 무엇이며, 스펙트럼 자료에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 L^1_r(F_k)에서 p-제로디바이저의 존재는 α의 스펙트럼 간격을 통해 어떻게 특성화될 수 있는가?

주요 결과

• d ≥ 2인 ℤ^d에 대해, 모든 영이 아닌 α ∈ ℂℤ^d 및 β ∈ L^p(ℤ^d)에 대해 p ≤ 2d/(d−1)일 때 α * β ≠ 0이다.
• α ∈ ℂℤ^d가 균일한 영이 아닌 디바이저이기 위한 필요충분조건은 그 푸리에 변환 영점 집합 Z(α)가 𝕋^d 내의 유한 개의 평면의 합집합에 포함되어 있다는 것이다.
• Z(α)가 상대적 영도 ν ≤ d−2를 갖는 매끄러운 (d−1)-차원 부분다양체이면, α는 p > 2(d−ν)/(d−1−ν)일 때에만 p-제로디바이저이다.
• k ≥ 2인 자유군 F_k에 대해, α ∈ ℂF_k 및 β ∈ L^p(F_k)가 존재하여 모든 p > 2에 대해 α * β = 0이며, 이는 L^2 결과가 p > 2로 확장되지 않음을 보여준다.
• 단사형사상 θ: F_k → F_{k+1}를 사용한 명시적 구성은 더 큰 자유군에서의 p-제로디바이저를 F_k로 옮기며, p > 2에서 L^p 비퇴화성의 실패를 증명한다.
• L^1_r(F_k)의 반경 함수에 대해, p(α)는 스펙트럼 간격 m(α)에 의해 정의되며, α는 모든 p > p(α)에서 p-제로디바이저이다. 이때 p(α)는 (2k−1)^{1/p}를 포함하는 비선형 방정식에 의해 결정된다.