[论文解读] Zero-sum path-dependent stochastic differential games in weak formulation
本文通过在弱形式下表述问题，证明了具有路径依赖动态的零和随机微分博弈中博弈值的存在性，允许反馈型控制而无需强解。在路径依赖的Isaacs条件及关联HJB方程的粘性解唯一性下，博弈值存在，并通过二阶倒向SDEs表征。
We consider zero-sum stochastic differential games with possibly path-dependent controlled state. Unlike the previous literature, we allow for weak solutions of the state equation so that the players' controls are automatically of feedback type. Under some restrictions, needed for the a priori regularity of the upper and lower value functions of the game, we show that the game value exists when both the appropriate path-dependent Isaacs condition, and the uniqueness of viscosity solutions of the corresponding path-dependent Isaacs-HJB equation hold. We also provide a general verification argument and a characterisation of saddle-points by means of an appropriate notion of second-order backward SDEs.
研究动机与目标
- 解决经典随机微分博弈表述中因控制受限于简单或马氏形式而产生的对称性缺失与技术挑战。
- 构建一个弱形式化框架，允许反馈型控制而无需状态SDE的强解。
- 在路径依赖的Isaacs条件及粘性解唯一性下，证明博弈值的存在性。
- 在弱形式化设定下，通过二阶倒向SDEs表征鞍点。
提出的方法
- 以弱形式表述随机微分博弈，其中状态过程是受布朗运动驱动的路径依赖SDE的弱解。
- 对双方玩家均采用非预测性、渐进可测的控制，避免对简单或马氏控制的限制。
- 应用Ekren、Touzi与Zhang提出的路径依赖粘性解理论，以处理非马氏动态。
- 借鉴Pham与Zhang的动态规划思想，推导上值函数与下值函数。
- 建立博弈值与路径依赖Isaacs–HJB方程解之间的联系。
- 基于二阶倒向SDEs提出验证论证，以表征鞍点并确保博弈值定义良好。
实验结果
研究问题
- RQ1在具有路径依赖动态的零和随机微分博弈中，博弈值在何种条件下存在？
- RQ2弱形式化框架如何解决经典表述中固有的对称性缺失与控制限制？
- RQ3路径依赖的Isaacs条件在确保博弈值存在中起何种作用？
- RQ4在弱形式化设定下，博弈值能否通过二阶倒向SDEs表征？
- RQ5路径依赖HJB方程的粘性解唯一性与博弈值存在性之间有何关联？
主要发现
- 当路径依赖的Isaacs条件成立且对应路径依赖HJB方程的粘性解唯一时，博弈值存在。
- 弱形式化允许反馈型控制而无需强解，从而绕过了先前文献中的技术限制。
- 博弈的值函数被表征为路径依赖Isaacs–HJB方程的唯一粘性解。
- 通过适当的二阶倒向SDEs概念表征鞍点，提供了验证机制。
- 该结果在标准粘性解唯一性下推广了经典马氏设定，因为测试函数类包含经典情形。
- 该框架允许漂移与扩散项中出现路径依赖系数，超越了马氏或简单控制设定的限制。
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