[论文解读] A bar operator for involutions in a Coxeter group

G. Lusztig|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用 35

一句话总结

本文提供了对任意 Coxeter 群中 ∗-扭曲对合元所张成的自由模上的 Hecke 代数作用与对合算子的初等构造，推广了早期的几何构造。关键贡献在于证明了对合算子与典范基 $A_w$ 的存在性与唯一性，该基细化了对合元的 Kazhdan-Lusztig 多项式，并给出 $P_{y,w}^ au$ 的新分解，其分解为具有非负整数系数的多项式。

ABSTRACT

In [LV] the authors defined a Hecke algebra action and a bar involution on a vector space spanned by the involutions in a Weyl group. In this paper we give a new definition of the Hecke algebra action and the bar operator which, unlike the one in [LV], is completely elementary (does not use geometry) and in particular it makes sense for an arbitrary Coxeter group.

研究动机与目标

• 为任意 Coxeter 群中 ∗-扭曲对合元所张成的模提供 Hecke 代数作用与对合算子的初等、非几何构造。
• 将 [LV] 中的结果——最初针对单李群或仿射单李群，使用几何方法证明——推广至适用于任意 Coxeter 群的纯代数框架。
• 在由对合算子与 $\mathbb{Z}[v,v^{-1}]$-基 $\{a'_w\}$ 定义的条件下，建立 $M$ 模中 $\{A_w\}$ 的典范基的存在性。
• 证明该基的结构常数 $P_{y,w}^\sigma$ 属于 $\mathbb{Z}[u]$ 且具有非负整数系数，从而细化原始的 Kazhdan-Lusztig 多项式。
• 给出 $I^*$ 上 Bruhat 序的 Möbius 函数的显式公式，证明其取值于 $\{1, -1\}$，并利用该结果证明 $P_{y,w}^\sigma$ 的常数项为 1。

提出的方法

• 在 $A = \mathbb{Z}[u,u^{-1}]$ 上定义 Hecke 代数 $H$，其生成元 $T_w$ 满足 braid 关系与二次关系。
• 通过依赖于 Bruhat 序与 ∗-对合的显式公式，构造 $M = \bigoplus_{w \in I^*} A \cdot a_w$ 上的 $H$-模结构，即 $T_s a_w$ 的表达式。
• 定义 $M$ 上的对合算子 $\overline{\cdot}$ 为满足对所有 $h \in H$，$m \in M$ 有 $\overline{h m} = \overline{h} \, \overline{m}$，且 $\overline{a_1} = a_1$ 的唯一 $\mathbb{Z}$-线性映射，其中 $\overline{a_w} = \epsilon_w T_{w^{-1}}^{-1} a_{w^{-1}}$。
• 引入归一化基 $a'_w = v^{-l(w)} a_w$，并定义 $A_w = v^{-l(w)} \sum_{y \leq w} P_{y,w}^\sigma a_y$，其中 $P_{y,w}^\sigma \in \mathbb{Z}[u]$。
• 通过归纳法与对合算子及 Bruhat 序的性质，证明 $\{A_w\}$ 构成 $M$ 的 $\mathbb{Z}[v,v^{-1}]$-基。
• 利用模 2 约化与 Möbius 函数的性质，证明 $P_{y,w}^\sigma \equiv P_{y,w} \mod 2$，且 $P_{y,w}^\sigma$ 的常数项为 1。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不使用 Verdier 对偶等几何工具的情况下，构造 Coxeter 群中 ∗-扭曲对合元空间上的 Hecke 代数作用与对合算子？
• RQ2 在 $H$-模 $M$ 中是否存在一个类似于 Kazhdan-Lusztig 基的典范基 $\{A_w\}$，其结构常数属于 $\mathbb{Z}[u]$？
• RQ3 该基的结构常数 $P_{y,w}^\sigma$ 是否具有非负整数系数？它们与原始的 Kazhdan-Lusztig 多项式 $P_{y,w}$ 有何关系？
• RQ4 在 $I^*$ 上的 Bruhat 序的 Möbius 函数为何值？能否利用它证明 $P_{y,w}^\sigma$ 的性质？
• RQ5 对合算子能否导出 $P_{y,w}^\sigma$ 的反演公式？它与对合自同构有何关系？

主要发现

• Hecke 代数在 $M$ 模上的作用被唯一确定，其 $T_s a_w$ 的表达式由四个显式公式给出，依赖于 Bruhat 序与 ∗-对合。
• 对合算子在 $M$ 上存在且唯一，作为满足 $\overline{h m} = \overline{h} \, \overline{m}$ 与 $\overline{a_1} = a_1$ 的 $\mathbb{Z}$-线性映射，且 $\overline{a_w} = \epsilon_w T_{w^{-1}}^{-1} a_{w^{-1}}$。
• $A_w = v^{-l(w)} \sum_{y \leq w} P_{y,w}^\sigma a_y$ 构成 $M$ 的 $\mathbb{Z}[v,v^{-1}]$-基，其中 $P_{y,w}^\sigma \in \mathbb{Z}[u]$，且对 $y < w$ 有 $\deg P_{y,w}^\sigma \leq (l(w) - l(y) - 1)/2$。
• $I^*$ 上的偏序集 $(I^*, \leq)$ 的 Möbius 函数取值于 $\{1, -1\}$，并被用于证明 $P_{y,w}^\sigma$ 的常数项为 1。
• 结构常数满足 $P_{y,w}^\sigma \equiv P_{y,w} \mod 2$，且 $P_{y,w}^\sigma$ 的常数项为 1，这意味着 $P_{y,w}^\sigma = P_{y,w} + 2f(u)$ 对某个 $f(u) \in \mathbb{Z}[u]$ 成立。
• 猜想 $P_{y,w}^\sigma = P_{y,w}^+ + P_{y,w}^-$，其中 $P_{y,w}^+, P_{y,w}^+ \in \mathbb{N}[u]$，在单李群或仿射单李群的情形下已得证实，但在一般情形下仍为开放问题。