[论文解读] A case study of intersections on blowups of the moduli of curves

Samouil Molcho, Dhruv Ranganathan|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 44被引用 8

一句话总结

本文通过利用对数几何、富勒顿的爆破公式以及分段多项式算子，证明了在曲线模空间中，环面接触循环是典型的，方法是展示它们作为双 ramification 循环在爆破下的虚拟严格变换。关键结果是这些循环属于典型环，通过利用对数紧化推广了 Faber–Pandharipande 的结果至高维情形。

ABSTRACT

We explain how logarithmic structures select principal components in an intersection of schemes. These manifest in Chow homology and can be understood using strict transforms under logarithmic blowups. Our motivation comes from Gromov--Witten theory. The extit{toric contact cycles} in the moduli space of curves parameterize curves that admit a map to a fixed toric variety with prescribed contact orders. We show that they are intersections of virtual strict transforms of double ramification cycles in blowups of the moduli space of curves. We supply a calculation scheme for the virtual strict transforms, and deduce that toric contact cycles lie in the tautological ring of the moduli space of curves. This is a higher dimensional analogue of a result of Faber--Pandharipande. The operational Chow rings of Artin fans play a basic role, and are shown to be isomorphic to rings of piecewise polynomials on associated cone complexes. The ingredients in our analysis are Fulton's blowup formula, Aluffi's formulas for Segre classes of monomial schemes, piecewise polynomials, and degeneration methods. A model calculation in toric intersection theory is treated without logarithmic methods and may be read independently.

研究动机与目标

• 理解曲线模空间对数紧化中循环的交点理论。
• 通过研究紧化逆系统，解决对数 Gromov–Witten 理论中朴素退化和乘积公式的失效问题。
• 证明环面接触循环——对数 Gromov–Witten 理论中的关键对象——是曲线模空间 Chow 环中的典型类。
• 建立一个系统框架，利用爆破公式、Segre 类和分段多项式计算虚拟严格变换。

提出的方法

• 利用对数几何时将紧化建模为爆破和根叠的逆系统，以捕捉完整的几何结构。
• 使用富勒顿的爆破公式以及 Aluffi 的单变量理想 Segre 类公式，计算虚拟严格变换中的校正项。
• 应用分段多项式算子描述沿爆破的类的上推，特别是沿例外除子的上推。
• 利用弱因子分解定理，通过沿光滑中心的爆破与反爆破序列关联不同紧化。
• 为双 ramification 循环的各层构造射影丛模型，将问题约化为更小、可归纳求解的情形。
• 利用 Artin 风扇的运算 Chow 环与锥复形上分段多项式环之间的同构关系，分析典型类。

实验结果

研究问题

• RQ1 对数结构如何在方案交集中选择主分量，这些选择在 Chow 同调中如何体现？
• RQ2 为何标准交点公式在对数模空间的极小模型上失效，又如何在更精细的紧化中恢复？
• RQ3 曲线模空间中的环面接触循环是否为典型循环？若是，其几何起源为何（以虚拟严格变换形式）？
• RQ4 在爆破下，双 ramification 循环的虚拟严格变换能否被算法计算，且是否仍属于典型环？
• RQ5 Artin 风扇的运算 Chow 环与分段多项式在描述对数模问题中的典型类时起何作用？

主要发现

• 证明了环面接触循环属于曲线模空间的典型环，将 Faber–Pandharipande 的结果推广至对数 Gromov–Witten 理论。
• 在爆破下，双 ramification 循环的虚拟严格变换属于由典型类的拉回和各层法丛的 Chern 根生成的子环。
• 虚拟严格变换的校正类支撑于例外除子，通过虚拟拉回与爆破的上推计算得出。
• Artin 风扇的运算 Chow 环同构于其关联锥复形上的分段多项式环，为典型计算提供了组合工具。
• 本文构造的射影丛模型可将典型性问题约化为对偶图顶点处更小的双 ramification 循环。
• 通过弱因子分解定理与射影丛公式，利用低亏格或少标记情形的归纳法，证明了主要结果。