[论文解读] Pixton's formula and Abel-Jacobi theory on the Picard stack

Younghan Bae, David Holmes+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 73被引用 9

一句话总结

本文通过皮克斯顿时公式和对数几何与b-查林周期技术，建立了皮卡德堆栈上扭曲双 ramification 循环的通用公式。证明了在曲线的紧化模空间中，扭曲亚纯微分的模空间的基本类由皮克斯顿时公式控制，解决了长期存在的一个猜想，并在皮卡德堆栈的运算查林环中产生了新的典型关系。

ABSTRACT

Let $A=(a_1,\ldots,a_n)$ be a vector of integers with $d=\sum_{i=1}^n a_i$. By partial resolution of the classical Abel-Jacobi map, we construct a universal twisted double ramification cycle $\mathsf{DR}^{\mathsf{op}}_{g,A}$ as an operational Chow class on the Picard stack $\mathfrak{Pic}_{g,n,d}$ of $n$-pointed genus $g$ curves carrying a degree $d$ line bundle. The method of construction follows the log (and b-Chow) approach to the standard double ramification cycle with canonical twists on the moduli space of curves [arXiv:1707.02261, arXiv:1711.10341, arXiv:1708.04471]. Our main result is a calculation of $\mathsf{DR}^{\mathsf{op}}_{g,A}$ on the Picard stack $\mathfrak{Pic}_{g,n,d}$ via an appropriate interpretation of Pixton's formula in the tautological ring. The basic new tool used in the proof is the theory of double ramification cycles for target varieties [arXiv:1812.10136]. The formula on the Picard stack is obtained from [arXiv:1812.10136] for target varieties $\mathbb{CP}^n$ in the limit $n ightarrow \infty$. The result may be viewed as a universal calculation in Abel-Jacobi theory. As a consequence of the calculation of $\mathsf{DR}^{\mathsf{op}}_{g,A}$ on the Picard stack $\mathfrak{Pic}_{g,n,d}$, we prove that the fundamental classes of the moduli spaces of twisted meromorphic differentials in $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ are exactly given by Pixton's formula (as conjectured in the appendix to [arXiv:1508.07940] and in [arXiv:1607.08429]). The comparison result of fundamental classes proven in [arXiv:1909.11981] plays a crucial role in our argument. We also prove the set of relations in the tautological ring of the Picard stack $\mathfrak{Pic}_{g,n,d}$ associated to Pixton's formula.

研究动机与目标

• 将双 ramification 循环理论从曲线的模空间扩展到带有线丛的曲线的皮卡德堆栈。
• 利用皮克斯顿时公式，对皮卡德堆栈上的扭曲双 ramification 循环进行通用计算。
• 证明在 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 中，扭曲亚纯微分模空间的基本类由皮克斯顿时公式给出，从而证实一个猜想。
• 通过皮克斯顿时公式，在皮卡德堆栈 $\mathfrak{Pic}_{g,n,d}$ 的运算查林环中建立一组完整的典型关系。

提出的方法

• 通过阿贝尔-雅可比映射的部分解析，在皮卡德堆栈 $\mathfrak{Pic}_{g,n,d}$ 上构造了通用扭曲双 ramification 循环 $\mathsf{DR}^{\mathsf{op}}_{g,A}$。
• 应用对数几何与相对线丛方法，结合对数与b-查林方法来定义该循环。
• 利用目标簇的双 ramification 循环理论，特别是当 $n \to \infty$ 时 $\mathbb{CP}^n$ 的极限情形，推导出该公式。
• 利用文献[42]中的基本类比较结果，将皮卡德堆栈上的循环与 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 上已知公式联系起来。
• 利用对偶性、标记重加权和扭曲的不变性，将一般情形约化为更简单的情形。
• 利用 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}(\mathbb{P}^l, d)$ 上的上拉映射的单射性与消去结果，证明皮克斯顿时公式在高余维数下消去。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将双 ramification 循环从曲线的模空间普遍扩展到线丛上曲线的皮卡德堆栈？
• RQ2 皮克斯顿时公式是否适用于皮卡德堆栈上的扭曲双 ramification 循环？它是否能计算扭曲亚纯微分模空间的基本类？
• RQ3 皮克斯顿时公式在皮卡德堆栈的运算查林环中产生哪些典型关系？
• RQ4 皮卡德堆栈上的循环 $\mathsf{DR}^{\mathsf{op}}_{g,A}$ 是否与通过对数和橡胶空间构造得到的已知公式一致？
• RQ5 皮克斯顿时公式在余维数 $c > g$ 时的消去对格罗莫夫-威滕理论有何影响？

主要发现

• 皮卡德堆栈 $\mathfrak{Pic}_{g,n,d}$ 上的扭曲双 ramification 循环 $\mathsf{DR}^{\mathsf{op}}_{g,A}$ 通过皮克斯顿时公式在典型环中的解释得以计算。
• 在 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}$ 中，扭曲亚纯微分模空间的基本类恰好由皮克斯顿时公式给出，证实了[31, 附录]和[74]中的一个猜想。
• 与皮克斯顿时公式相关的 $\mathfrak{Pic}_{g,n,d}$ 的运算查林环中的典型关系集合已被完全确定。
• 当 $c > g$ 时，皮克斯顿时公式的余维数 $c$ 部分在 $\mathsf{CH}^c_{\mathsf{op}}(\mathfrak{Pic}_{g,n,d})$ 中消去，即 $\mathsf{P}^c_{g,A,d} = 0$，扩展了[24]和[69]的结果。
• 将此消去关系拉回到 $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}(X,\beta)$ 并与约化虚拟类相交，可得到约化格罗莫夫-威滕理论中的新关系。
• 该结果为计算具有非退化全纯2-形式的目标（如K3曲面）的格罗莫夫-威滕理论中的不变量提供了新框架。