[论文解读] A class number formula for Picard modular surfaces

Aaron Pollack, Shrenik Shah|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 34被引用 3

一句话总结

本文通过在 motivic 上同调中构造新的 Beilinson–Flach 类并计算其 Archimedean 范数配对，建立了 Picard 模块曲面的类数公式。它证明了一个特殊值公式，将六次标准 $L$-函数的非临界导数、Whittaker 周期与范数配对联系起来，为该算术设定下 Beilinson 的猜想提供了强有力证据。

ABSTRACT

We investigate arithmetic aspects of the middle degree cohomology of compactified Picard modular surfaces $X$ attached to the unitary similitude group $\mathrm{GU}(2,1)$ for an imaginary quadratic extension $E/\mathbf{Q}$. We construct new Beilinson--Flach classes on $X$ and compute their Archimedean regulator. We obtain a special value formula involving a non-critical $L$-value of the degree six standard $L$-function, a Whittaker period, and the regulator. This provides evidence for Beilinson's conjecture in this setting.

研究动机与目标

• 为 Beilinson 在 Picard 模块曲面背景下关于 motivic $L$-函数特殊值的猜想提供证据。
• 利用 Siegel 单元构造 motivic 上同调中的显式类，并研究其与代数微分形式的范数配对。
• 计算这些类的 Archimedean 范数，并将其与 $\mathrm{GU}(2,1)$ 上一个尖点自守表示的标准 $L$-函数的导数联系起来。
• 建立一个精确公式，将范数配对、Whittaker 周期与非临界 $L$-值联系起来，至代数倍数。
• 验证范数配对与函数方程及局部 $L$-因子的一致性，尤其在惰性与分裂素数处。

提出的方法

• 利用 Siegel 单元与自守形式理论，在 Picard 模块曲面上构造更高 Chow 类。
• 应用 Rankin-Selberg 方法，将全局 $L$-函数与自守形式上对 Eisenstein 系数的积分联系起来。
• 通过显式积分微分形式与 motivic 类，计算 Archimedean 范数配对。
• 利用 $p$-进 $L$-函数与 Whittaker 函数的局部理论，计算所有位置的局部因子，区分分裂、惰性与分歧素数。
• 根据 $p$ 的分裂类型，使用 Langlands 与 Gunningberg 类型局部积分，定义混合 $L$-因子 $L_p(\pi_p \times \nu_{1,p}, \mathrm{Std}, s)$。
• 应用 $L(\pi \times \nu_1, \mathrm{Std}, s)$ 的函数方程与解析延拓，推导出在 $s=0$ 处的零点阶数与导数非零性。

实验结果

研究问题

• RQ1 构造的 motivic 类与代数微分形式的范数配对是否产生一个与 Beilinson 猜想匹配的特殊值公式？
• RQ2 标准 $L$-函数 $\pi$ 在狄利克雷特征扭动下的导数与 motivic 类的 Archimedean 范数之间是否存在精确关系？
• RQ3 在分裂、惰性与分歧素数处，局部 $L$-因子的行为如何？它们如何贡献于全局 $L$-函数？
• RQ4 在何种条件下，全局积分 $I(\Phi, \varphi_f, \nu, s)$ 在 $s=0$ 处保持全纯？这对 $L$-函数的零点阶数有何含义？
• RQ5 当 $\nu_1^2 \cdot \omega_\pi|_{Z(\mathbf{A})}$ 非平凡，或 $\pi_p$ 在某个分裂位置处为分歧时，范数配对能否被解释为非零对象？

主要发现

• 本文建立了特殊值公式：$\langle \xi, \omega \rangle =_{\overline{\mathbf{Q}}^\times} W(\pi) L'(\pi \times \nu, \mathrm{Std}, 0)$，将范数配对与标准 $L$-函数的导数联系起来。
• 在给定假设下，全局积分 $I(\Phi, \varphi_f, \nu, s)$ 在 $s=0$ 处全纯，意味着 $L(\pi \times \nu_1, \mathrm{Std}, s)$ 在 $s=0$ 处至少有一阶零点。
• 当 $\pi$ 在所有惰性素数处均无量且对所有 $p \in \Sigma$ 有 $\alpha_p \neq 1$ 时，公式 (62) 右侧非零，从而确保范数配对非零。
• 在 $\pi$ 在所有惰性素数处无量且中心特征条件成立的假设下，$L(\pi \times \nu_1, \mathrm{Std}, s)$ 在 $s=0$ 处恰好有一阶零点。
• 混合 $L$-因子定义 $L_p(\pi_p \times \nu_{1,p}, \mathrm{Std}, s)$ 统一了不同 $p$ 分裂类型下的 Langlands 与 Gunningberg 类型局部积分。
• 公式 (62) 显式地以 Whittaker 周期、Gamma 因子与 $L$-函数的导数表达了全局积分在 $s=0$ 处的值，至代数倍数。