[论文解读] A Compact Representation for Modular Semilattices and its Applications

Hiroshi Hirai, So Nakashima|arXiv (Cornell University)|May 15, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文提出了一种用于模半格的紧凑 PPIP（带不一致对的投影偏序集）表示，推广了分配格和模格的 Birkhoff 型定理。它建立了 $Θ(n)$ 复杂度的表示方法，并利用最优蕴含基在多项式时间内识别模半格，从而能够高效计算这些结构上子模函数的极小化集。

ABSTRACT

A modular semilattice is a semilattice generalization of a modular lattice. We establish a Birkhoff-type representation theorem for modular semilattices, which says that every modular semilattice is isomorphic to the family of ideals in a certain poset with additional relations.This new poset structure, which we axiomatize in this paper, is called a PPIP (projective poset with inconsistent pairs). A PPIP is a common generalization of a PIP (poset with inconsistent pairs) and a projective ordered space. The former was introduced by Barthélemy and Constantin for establishing Birkhoff-type theorem for median semilattices, and the latter by Herrmann, Pickering, and Roddy for modular lattices. We show the $Θ(n)$ representation complexityand a construction algorithm for PPIP-representations of $(\wedge, \vee)$-closed sets in the product $L^n$ of modular semilattice $L$. This generalizes the results of Hirai and Oki for a special median semilattice $S_k$. We also investigate implicational bases for modular semilattices. Extending earlier results of Wild and Herrmann for modular lattices, we determine optimal implicational bases and develop a polynomial time recognition algorithm for modular semilattices. These results can be applied to retain the minimizer set of a submodular function on a modular semilattice.

研究动机与目标

• 将 Birkhoff 型表示定理从分配格和模格推广到模半格。
• 为模半格 $L$ 的 $L^n$ 中的 $(\wedge,\vee)$-封闭集开发一种紧凑且高效的表示方法。
• 利用蕴含基建立模半格的多项式时间识别算法。
• 将该框架应用于有限域上分块矩阵的 Dulmage-Mendelsohn 分解计算。

提出的方法

• 引入 PPIP（带不一致对的投影偏序集）作为 PIP 和投影有序空间的共同推广，用于表示模半格。
• 证明一个 Birkhoff 型表示定理：每个模半格同构于一个 PPIP 中理想族。
• 开发一种 PPIP 表示的构造算法，用于 $L^n$ 中的 $(\wedge,\vee)$-封闭集，实现 $\Theta(n)$ 的表示复杂度。
• 利用投影有序空间的公理和 Horn 公式理论，建立模半格的最优蕴含基。
• 设计一种贪心算法，用于在 PPIP 表示中构造一致子空间的最大链。
• 将该框架应用于矩阵消去子空间问题（MVSP），将其简化为模半格上的子模函数极小化问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为模半格建立一个 Birkhoff 型表示定理，从而推广分配格和模格的相应定理？
• RQ2 模半格 $L$ 的 $L^n$ 中 $(\wedge,\vee)$-封闭集的最小表示复杂度是多少？
• RQ3 能否为模半格确定最优蕴含基，并是否存在其多项式时间识别算法？
• RQ4 PPIP 表示能否用于计算有限域上分块矩阵的 Dulmage-Mendelsohn 分解？
• RQ5 如何紧凑表示并高效计算模半格上子模函数的极小化集？

主要发现

• 每个模半格同构于某个 PPIP 的理想族，从而为该类建立了 Birkhoff 型表示定理。
• $L^n$ 中 $(\wedge,\vee)$-封闭集的表示复杂度为 $\Theta(n)$，推广了对 $S_k^n$ 的早期结果。
• 当通过 $\vee$-不可约元素上的蕴含关系给出时，模半格的最优蕴含基可在多项式时间内计算。
• 开发了一种多项式时间识别算法，用于判断一个闭包系统是否为模半格。
• 在 $m$、$n$ 和 $\mathbf{F}^\gamma$ 的子空间数量的多项式时间内，可计算有限域上分块矩阵的 DM 分解，其中 $\gamma$ 是子矩阵的最大维数。
• 该框架成功计算了 $\mathrm{GF}(2)$ 上一个 $6\times6$ 矩阵的 DM 分解，通过显式构造 PPIP 和生成最大链，展示了方法在具体实例上的应用。