[论文解读] A constructive commutative quantum Lovasz Local Lemma, and beyond

Toby S. Cubitt, Martin Schwarz|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2011

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 27被引用 8

一句话总结

本文提出了一种可构造的量子算法来解决可交换的量子Lovász局部引理（QLLL），证明了在弱依赖的子空间约束下，可以高效地找到满足条件的量子态。该文提供了两种独立的证明——通过量子耦合与组合分析——首次给出了可交换QLLL的高效算法，并在量子通道收敛性和非可交换情形的猜想扩展方面具有应用价值。

ABSTRACT

The recently proven Quantum Lovasz Local Lemma generalises the well-known Lovasz Local Lemma. It states that, if a collection of subspace constraints are "weakly dependent", there necessarily exists a state satisfying all constraints. It implies e.g. that certain instances of the kQSAT quantum satisfiability problem are necessarily satisfiable, or that many-body systems with "not too many" interactions are always frustration-free. However, the QLLL only asserts existence; it says nothing about how to find the state. Inspired by Moser's breakthrough classical results, we present a constructive version of the QLLL in the setting of commuting constraints, proving that a simple quantum algorithm converges efficiently to the required state. In fact, we provide two different proofs, one using a novel quantum coupling argument, the other a more explicit combinatorial analysis. Both proofs are independent of the QLLL. So these results also provide independent, constructive proofs of the commutative QLLL itself, but strengthen it significantly by giving an efficient algorithm for finding the state whose existence is asserted by the QLLL. We give an application of the constructive commutative QLLL to convergence of CP maps. We also extend these results to the non-commutative setting. However, our proof of the general constructive QLLL relies on a conjecture which we are only able to prove in special cases.

研究动机与目标

• 提供可交换量子Lovász局部引理的可构造性证明，超越存在性，实现高效态制备。
• 开发一种量子算法，高效地找到满足一组弱依赖子空间约束的量子态。
• 建立量子见证树与算法收敛性之间的联系，将经典Moser风格算法推广至量子设置。
• 基于一个尚未在一般情况下证明的猜想，将可构造方法推广至非可交换约束。
• 将可构造QLLL应用于量子动力学中完全正（CP）映射的收敛时间边界。

提出的方法

• 引入量子见证树作为追踪算法过程中依赖关系与违反情况的工具。
• 使用量子耦合论证来界定见证树的概率，确保算法收敛。
• 提出一种新颖的迭代测量过程，结合保留量子态相干性的重采样规则。
• 应用对重采样DAG（有向无环图）的组合分析，以建模算法的执行路径。
• 采用期望违反次数作为算法运行时间的代理，证明在可交换条件下存在多项式界。
• 通过一个关于见证树概率的猜想，将方法推广至非可交换约束，依赖于量子信息理论的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种可构造的量子算法，以高效方式找到满足可交换子空间约束集合的量子态，正如QLLL所断言的那样？
• RQ2 此类算法的期望运行时间是多少？是否能在约束数量上实现多项式有界？
• RQ3 经典算法技术如见证树与重采样如何推广至量子设置？
• RQ4 可构造QLLL在多大程度上可推广至非可交换约束？需要哪些假设？
• RQ5 可构造QLLL能否用于界定量子动力学映射（CP映射）的收敛时间？

主要发现

• 提出了一种可构造的量子算法，在QLLL条件下可高效找到可交换子空间交集中的量子态，其期望运行时间在约束数量上为多项式有界。
• 在可交换QLLL条件下，证明了算法中违反次数的期望值被有界为常数，从而证明了高效收敛。
• 给出了两种独立证明：一种基于量子耦合论证，另一种基于重采样DAG的组合分析，两者均得出相同的可构造结果。
• 即使约束数量为超多项式，该算法仍可在期望多项式时间内收敛至解，将经典结果推广至量子设置。
• 将可构造QLLL应用于界定CP映射的收敛时间，展示了其在量子动力系统中的新应用。
• 提出了非可交换情形的猜想，将见证树概率与算法收敛性联系起来；若该猜想成立，将导出一个通用的可构造QLLL，但目前尚未在一般情况下得到证明。