[论文解读] A continuity method to construct canonical metrics

Gabriele La Nave, Gang Tian|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新的连续性方法，通过求解依赖于时间参数的一族复蒙日-安培方程，在紧致凯勒流形上构造典范度量，确保里奇曲率一致有界。关键结果是在时间 $ T $ 之前存在一个最大解，其极限度量在基点集之外光滑，并满足广义凯勒-爱因斯坦方程，为解析极小模型程序中凯勒-里奇流的替代方案。

ABSTRACT

We introduce a new continuity method which provides an alternative way of carrying out the Analytic Minimal Model Program introduced by G. Tian and J. Song and G. Tian. This equation -- unlike the Ricci flow -- has the advantage of having Ricci curvature bounded from below along the deformation, so that the compactness theory of Cheeger-Colding-Tian for Kaehler manifolds and the partial $C^0$-estimate, can be applied.

研究动机与目标

• 在解析极小模型程序中，为构造典范度量提供凯勒-里奇流的替代方法。
• 确立连续路径中具有统一有界里奇曲率的度量的最大解时间 $ T $ 的存在性。
• 证明极限度量 $ \omega_T $ 在基点集之外光滑，并在正则部分满足广义凯勒-爱因斯坦方程。
• 提出通过翻转和手术实现度量退化的程序，类比于带手术的凯勒-里奇流。
• 推测当 $ t \to \infty $ 时，度量的渐近行为将收敛至卡拉比-丘或广义凯勒-爱因斯坦度量，具体取决于诺伊达维数。

提出的方法

• 该方法使用一维参数族方程 $ \omega_t = \omega_0 - t \, \text{Ric}(\omega_t) $，其线性地变形凯勒类，满足 $ [\omega_t] = [\omega_0] - t c_1(M) $。
• 问题被约化为求解复蒙日-安培方程 $ (\tilde{\omega}_t + t\sqrt{-1}\partial\bar{\partial}u)^n = e^u \Omega $，其中 $ \tilde{\omega}_t = \omega_0 - t\psi $ 且 $ \psi \in c_1(M) $。
• 通过连续性方法证明解的存在性，表明解集在 $ [0, T) $ 上既开又闭，其中 $ T $ 定义为满足 $ [\omega_0] - t c_1(M) > 0 $ 的 $ t $ 的上确界。
• 在 $ T $ 附近，从下有界的里奇曲率允许应用紧致性理论（切赫-科林-天）和部分 $ C^0 $-估计。
• 证明极限度量 $ \omega_T $ 在 $ M \setminus \mathcal{S} $ 上光滑，其中 $ \mathcal{S} $ 是 $ [\omega_0] - T c_1(M) $ 的基点集。
• 该方法被扩展以提出通过翻转和手术实现度量退化的程序，推测其将收敛至依赖于诺伊达维数的广义凯勒-爱因斯坦度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种连续性方法，确保里奇曲率一致有界，并在解析极小模型程序中支持紧致性论证？
• RQ2 连续路径 $ \omega_t = \omega_0 - t \, \text{Ric}(\omega_t) $ 允许光滑解的最大时间 $ T $ 是什么？
• RQ3 极限度量 $ \omega_T $ 是否作为弱凯勒度量存在，其在基点集之外光滑，并满足广义凯勒-爱因斯坦方程？
• RQ4 该方法能否扩展至包含翻转和手术，类比于带手术的凯勒-里奇流？
• RQ5 当 $ t \to \infty $ 时，$ \omega_t $ 的渐近行为如何，尤其与诺伊达维数及广义凯勒-爱因斯坦度量的关系如何？

主要发现

• 最大解时间 $ T $ 定义为 $ T = \sup\{ t \mid [\omega_0] - t c_1(M) > 0 \} $，且解 $ \omega_t $ 在 $ M \times [0, T) $ 上光滑存在。
• 若 $ T < \infty $ 且 $ ([\omega_0] - T c_1(M))^n > 0 $，则 $ \omega_t $ 收敛至一个弱凯勒度量 $ \omega_T $，其在 $ M \setminus \mathcal{S} $ 上光滑，其中 $ \mathcal{S} $ 是 $ [\omega_0] - T c_1(M) $ 的基点集。
• 极限度量 $ \omega_T $ 在 $ M \setminus \mathcal{S} $ 上满足 $ \omega_T = \omega_0 - T \, \text{Ric}(\omega_T) $，且 $ \omega_t $ 的里奇曲率在 $ T $ 附近从下一致有界。
• 对于 $ t \in (0, T) $，$ (M, \omega_t) $ 的直径预计一致有界，从而允许 Gromov-Hausdorff 收敛至一个度量空间 $ (M_T, d_T) $，即 $ (M \setminus \mathcal{S}, \omega_T) $ 的完备化。
• 当 $ T = \infty $ 时，缩放度量 $ t^{-1} \omega_t $ 预计收敛至 $ M $ 的典范模型上的广义凯勒-爱因斯坦度量，尤其当 $ (-c_1(M))^n > 0 $ 时。
• 本文推测：当 $ \kappa(M) = 0 $ 时，$ \omega_t $ 光滑收敛至 $ M \setminus \mathcal{D} $ 上的卡拉比-丘度量；当 $ \kappa(M) = n $ 时，$ t^{-1} \omega_t $ 收敛至标量曲率为 $ -n $ 的凯勒-爱因斯坦度量，且 Gromov-Hausdorff 收敛至紧致度量空间。