[论文解读] A criterion for coincidence of the entanglement-assisted classical capacity and the Holevo capacity of a quantum channel

M. E. Shirokov|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2012

Quantum Information and Cryptography参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文建立了量子通道的纠缠辅助经典容量与Holevo容量重合的充要条件：即该通道的χ-本质部分必须是经典-量子（c-q）通道。该结果从有限维推广至具有线性约束的无限维通道，表明等式成立当且仅当该通道在输入态支撑集上的限制为c-q通道，且在可对角化条件下存在逆命题。

ABSTRACT

It is easy to show coincidence of the entanglement-assisted classical capacity and the Holevo capacity for any c-q channel between finite dimensional quantum systems. In this paper we prove the converse assertion: coincidence of the above-mentioned capacities of a quantum channel implies that the $χ$-essential part of this channel is a c-q channel (the $χ$-essential part is a restriction of a channel obtained by discarding all input states useless for transmission of classical information). The above observations are generalized to infinite dimensional quantum channels with linear constraints by using the obtained conditions for coincidence of the quantum mutual information and the constrained Holevo capacity.

研究动机与目标

• 确定纠缠辅助经典容量与Holevo容量在何种条件下对量子通道相等。
• 澄清误解：该等式并非仅在纠缠破坏通道中成立，而实际上刻画的是c-q通道。
• 将有限维情形的刻画结果推广至具有线性约束的无限维通道。
• 通过通道限制与态支撑集分析，探讨受限Holevo容量与量子互信息之间的关系。
• 建立等式 $ C_{\mathrm{ea}}(\Phi) = \bar{C}(\Phi) $ 成立的条件，尤其通过通道χ-本质部分的结构。

提出的方法

• 将通道的χ-本质部分定义为支持所有Holevo容量最优集合的最小子空间的限制。
• 利用Stinespring扩张表示通道及其互补通道，从而分析量子互信息。
• 应用通道关于纯态族的可逆性概念，借鉴[17]中关于无限维情形的结果。
• 利用χ-量的下半连续性与相对熵的性质，处理迹类算子中的收敛性及测度的弱收敛性。
• 构造逼近的有限秩通道 $ \Phi_n = \Pi_n \circ \Phi $，通过强收敛性将有限维结果推广至无限维。
• 在收敛条件下证明等式 $ I(\Phi, \rho) = \chi(\Phi(\mu)) - \chi(\widehat{\Phi}(\mu)) $，建立互信息与Holevo容量之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，纠缠辅助经典容量与量子通道的Holevo容量重合？
• RQ2 等式 $ C_{\mathrm{ea}}(\Phi) = \bar{C}(\Phi) $ 是否意味着通道在χ-本质部分为经典-量子（c-q）通道？
• RQ3 有限维结果如何推广至具有线性约束的无限维量子通道？
• RQ4 受限Holevo容量 $ \bar{C}(\Phi, \rho) $ 与量子互信息 $ I(\Phi, \rho) $ 之间有何关系？
• RQ5 在何种条件下，等式 $ I(\Phi, \rho) = \bar{C}(\Phi, \rho) $ 暗示通道在 $ \mathrm{supp}\,\rho $ 上的限制为c-q通道？

主要发现

• 对于有限维通道，$ C_{\mathrm{ea}}(\Phi) = \bar{C}(\Phi) $ 当且仅当 $ \Phi $ 的χ-本质部分是c-q通道。
• 满足 $ C_{\mathrm{ea}}(\Phi) = \bar{C}(\Phi) $ 的通道类并不等同于纠缠破坏通道类。
• 在具有线性约束的无限维情形下，$ \bar{C}(\Phi, \rho) = I(\Phi, \rho) $ 暗示 $ \Phi $ 在 $ \mathrm{supp}\,\rho $ 上的限制为c-q通道。
• 反之，若 $ \rho $ 在受限通道c-q表示的基下可对角化，则 $ \bar{C}(\Phi, \rho) = I(\Phi, \rho) $。
• 逼近通道 $ \Phi_n $ 沿强拓扑收敛于 $ \Phi $，可保证 $ \chi(\Phi_n(\mu)) \to \chi(\Phi(\mu)) $ 与 $ \chi(\widehat{\Phi}_n(\mu)) \to \chi(\widehat{\Phi}(\mu)) $。
• χ-量的下半连续性与相对熵在量子操作下的单调性，是证明无限维情形下收敛性与等式的关键。