[论文解读] A cubical model for $(\infty, n)$-categories

Tim Campion, Chris Kapulkin+1 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用 7

一句话总结

本文提出了一种基于带连接的标记立方集的新模型来描述$(\infty,n)$-范畴，建立了与 lax 和 pseudo Gray 张量积均相容的张量范畴模型结构。主要贡献在于构造了一个强张量性、左 Quillen 的三角剖分函子，映射到预 complicial 集，证明了该模型与已有模型之间的 Quillen 等价性，从而验证了导出代数几何中的基础性断言。

ABSTRACT

We propose a new model for the theory of $(\infty,n)$-categories (including the case $n=\infty$) in the category of marked cubical sets with connections, similar in flavor to complicial sets of Verity. The model structure characterizing our model is shown to be monoidal with respect to suitably defined (lax and pseudo) Gray tensor products; in particular, these tensor products are both associative and biclosed. Furthermore, we show that the triangulation functor to pre-complicial sets is a left Quillen functor and is strong monoidal with respect to both Gray tensor products.

研究动机与目标

• 通过使用带连接的立方集与标记，开发一种新的、组合上可处理的$(\infty,n)$-范畴模型。
• 在立方设定下定义并研究 lax 和 pseudo Gray 张量积，利用其固有的立方自然性。
• 在标记立方集上构造一个模型结构，其纤维对象为 comical 集，且单射为纤维丛。
• 构建一个从立方集到单纯集的三角剖分函子，该函子保持关键范畴结构，包括 Gray 张量积。
• 证明新立方模型与如 $n$-平凡饱和 complicial 集等既有的模型之间的 Quillen 等价性，从而验证高阶范畴论中的基础结果。

提出的方法

• 引入带连接的标记立方集，定义 comical 集为满足特定复合公理的纤维对象。
• 在标记立方集上定义 lax 和 pseudo Gray 张量积，证明其满足结合律且为双闭的。
• 基于 Olschok 的组合模型结构框架，在标记立方集上构造一个模型结构，其中纤维丛为单射，纤维对象为 comical 集。
• 将标准的三角剖分函子 $T$ 从立方集扩展到标记立方集，映射至预 complicial 集的范畴。
• 证明三角剖分函子 $T$ 对两种 Gray 张量积均为强张量性，保持其代数结构。
• 证明 $T$ 是左 Quillen 函子，从而在立方模型与 complicial 模型之间建立 Quillen 等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个自然支持 lax 和 pseudo Gray 张量积的$(\infty,n)$-范畴立方模型？
• RQ2 是否存在一个从标记立方集到预 complicial 集的三角剖分函子，能够保持 Gray 张量积结构？
• RQ3 通过 comical 集构造的$(\infty,n)$-范畴新模型是否能产生与 lax 和 pseudo Gray 乘积均相容的张量范畴模型结构？
• RQ4 三角剖分函子是否能作为立方模型与标准 complicial 模型之间 Quillen 等价性的桥梁？
• RQ5 新立方构造是否验证了导出代数几何中关于$(\infty,2)$-范畴的先前未被证明的断言？

主要发现

• 带连接的标记立方集范畴配备了一个组合模型结构，其中纤维丛为单射，纤维对象为 comical 集。
• 该模型上的 lax 和 pseudo Gray 张量积均满足结合律且为双闭的，使得该模型成为张量范畴。
• 三角剖分函子 $T: \text{cSet}^+ \to \text{PreComp}$ 对两种 Gray 张量积均为强张量性，保持其代数性质。
• 三角剖分函子是左 Quillen 函子，从而在立方模型与 $n$-平凡饱和 complicial 模型结构之间建立了 Quillen 等价性。
• 该模型通过提供一个具体且等价的框架，验证了 [GR17a] 中关于$(\infty,2)$-范畴的关键断言，这些断言此前尚未被证明。
• 该模型通过三角剖分函子与 $n$-平凡饱和 complicial 集实现 Quillen 等价性，如 [DKM23] 所确认，扩展了此前对 $n=0,1$ 的结果。