[论文解读] A dichotomy theorem for conservative general-valued CSPs

Vladimir Kolmogorov|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2010

Advanced Graph Theory Research参考文献 35被引用 5

一句话总结

本文为保守型广义约束满足问题（VCSP）建立了二分定理，证明了当且仅当语言允许STP与MJN多重自同态互补组合时，该语言是可 tractable 的。该结果推广了针对保守语言的先前二分定理结果，并通过代数多重多值自同态与已知可 tractable 条件的约化，为包含所有单变量代价函数的VCSP提供了完整的复杂性分类。

ABSTRACT

We study the complexity of valued constraint satisfaction problems (VCSP). A problem from VCSP is characterised by a \emph{constraint language}, a fixed set of cost functions over a finite domain. An instance of the problem is specified by a sum of cost functions from the language and the goal is to minimise the sum. We consider the case of so-called \emph{conservative} languages; that is, languages containing all unary cost functions, thus allowing arbitrary restrictions on the domains of the variables. We prove a Schaefer-like dichotomy theorem for this case: if all cost functions in the language satisfy a certain condition (specified by a complementary combination of \emph{STP and MJN multimorphisms}) then any instance can be solved in polynomial time by the algorithm of Kolmogorov and Zivny (arXiv:1008.3104v1), otherwise the language is NP-hard. This generalises recent results of Takhanov (STACS'10) who considered $\{0,\infty\}$-valued languages containing additionally all finite-valued unary cost functions, and Kolmogorov and Zivny (arXiv:1008.1555v1) who considered \emph{finite-valued} conservative languages.

研究动机与目标

• 为保守型广义约束满足问题（VCSP）建立完整的复杂性分类。
• 将针对{0, ∞}-取值和有限取值的保守语言的先前二分定理结果推广至更广泛的广义取值保守语言类别。
• 以代数多重自同态条件（特别是STP与MJN多重自同态的互补组合）来刻画可 tractable 性。
• 统一并扩展基于自同态的二分定理在VCSP中的先前结果。

提出的方法

• 利用多重自同态（STP与MJN）作为代数不变量的框架，以刻画可 tractable 语言。
• 在假设语言满足特定闭包与最小性条件的前提下，构建一个部分MJN多重自同态。
• 通过已知NP难语言的约化，证明当多重自同态条件不成立时问题为不可 tractable。
• 依赖Kolmogorov与Živný（arXiv:1008.1555v1与arXiv:1008.3104v1）的先前结果，这些结果将STP多重自同态与组合多重自同态结构与可 tractable 性联系起来。
• 在语言与其补集之间应用对偶论证，以在关联图表示中保持边与软边关系。
• 采用一种约化技术，将单变量代价函数替换为有界等价形式（使用大常数C），以模拟NP难性，同时保持解结构不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种代数条件下，保守型广义约束满足问题可 tractable？
• RQ2 能否在{0, ∞}-取值或有限取值情况之外，为广义取值保守语言建立类似Schaefer的二分定理？
• RQ3 STP与MJN多重自同态的互补组合的存在性，是否为保守型VCSP可 tractable 的充要条件？
• RQ4 当语言中包含所有单变量代价函数时，多重自同态条件如何与VCSP的复杂性相关联？

主要发现

• 当且仅当语言允许STP与MJN多重自同态的互补组合时，保守型广义约束满足问题才是可 tractable 的。
• 若语言不具有此类多重自同态组合，则问题为NP难，从而建立了完整的二分定理。
• 该结果推广了Takhanov（2010）针对{0, ∞}-取值保守语言的二分定理，以及Kolmogorov与Živný针对有限取值保守语言的结果。
• 证明在所需条件下构建了一个部分MJN多重自同态，基于先前将STP多重自同态与可 tractable 性联系起来的工作。
• 从补语言Γ̄中的NP难实例到原始语言Γ中对应实例的约化，保持了解的等价性，仅相差一个缩放因子。
• 该构造确保原始问题中有限代价的赋值在约化实例中仍对应有限代价赋值，且代价按多项式因子（N = |T₁| + |T*|）缩放，从而保持NP难性。