[论文解读] A discrete and finite approach to past proper time

Wolfgang Orthuber|ArXiv.org|Jul 9, 2002

advanced mathematical theories参考文献 40被引用 3

一句话总结

本文通過將洛伦兹因子 γ(x) = 1/√(1−x²) 與對稱伯努利隨機遊走的返回概率之和聯繫起來，提出了一種相對論性固有時間的離散、有限解釋。它表明固有時間與該隨機遊走中返回原點的累積概率成正比，且隨著步數增加，該概率收斂於 γ(x)。此外，當 v=c（即 x=1）時，有限隨機遊走模型顯示吸收（非返回）概率的尺度為 1/√(πn)，從而提供了時間膨脹與光子能量紅移的離散類比。

ABSTRACT

The function $γ(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ plays an important role in mathematical physics, e.g. as factor for relativistic time dilation in case of $x=β$ with $β=\frac{v}{c}$ or $β=\frac{pc}{E}$. Due to former considerations it is reasonable to study the power series expansion of $γ(x)$. Here its relationship to the binomial distribution is shown, especially the fact, that the summands of the power series correspond to the return probabilities to the starting point (local coordinates, configuration or state) of a Bernoulli random walk. So $γ(x)$ and with that also proper time is proportional to the sum of the return probabilities. In case of $x=1$ or $v=c$ the random walk is symmetric. Random walks with absorbing barriers are introduced in the appendix. Here essentially the basic mathematical facts are shown and references are given, most interpretation is left to the reader.

研究动机与目标

• 探討相對論物理中洛倫茲因子 γ(x) = 1/√(1−x²) 的有限部分和的物理意義。
• 透過對稱伯努利隨機遊走，建立 γ(x) 的冪級數展開與二項分佈之間的聯繫。
• 將固有時間建模為有限隨機遊走中返回原點的概率之和的正比量。
• 研究在 v=c（x=1）時系統的行為，此時遊走對稱，且在無限極限下吸收（非返回）成為必然。
• 將 γ(x) 的倒數 √(1−x²) 解釋為隨機遊走中非返回（逃逸）的概率，並與光子能量紅移聯繫起來。

提出的方法

• 使用廣義二項定理（α = −1/2）推導 γ(x) = 1/√(1−x²) 的冪級數展開。
• 證明冪級數的係數對應於一維格點上對稱伯努利隨機遊走的返回概率。
• 構建一個在原點設有吸收邊界（吸收對應於非返回）的有限隨機遊走模型。
• 將 2n 步內返回概率的總和表示為 Q0P(2n, 0, 1/2) = (2n)! / (2^{2n} (n!)^2)，該表達式在 n 较大時近似為 1/√(πn)。
• 推導出 2n 步後吸收（非返回）的概率為 −Q2P(2n, 0, 1/2) ≈ 1/√(4πn³)，並與返回概率的二階有限差分聯繫起來。
• 該模型將 √(1−x²) 解釋為逃逸（非返回）的概率，因此也代表到達遠方觀測者的光子能量比例，從而模擬紅移。

实验结果

研究问题

• RQ1 洛倫茲因子 γ(x) 如何與離散格點上對稱隨機遊走的返回概率相關？
• RQ2 在相對論性時間膨脹的背景下，γ(x) 的冪級數有限部分和具有何種物理解釋？
• RQ3 具有吸收邊界的有限隨機遊走中非返回（吸收）的概率與 γ(x) 的倒數有何關係？
• RQ4 當 x→1（即 v→c）時，返回與吸收概率的行為如何？這與相對論框架下光子的行為有何關聯？
• RQ5 光子的能量紅移能否被解釋為離散隨機遊走模型中的非返回概率？

主要发现

• 在 2n 步內，對稱伯努利隨機遊走的返回概率之和等於 Q0P(2n, 0, 1/2) = (2n)! / (2^{2n} (n!)^2)，當 n 較大時近似為 1/√(πn)。
• 在 x=1（即 v=c）時，有限隨機遊走模型在 2n 步後的吸收（非返回）概率約為 1/√(4πn³)，與返回概率的負二階有限差分一致。
• 對稱隨機遊走中非返回（逃逸）的概率為 √(1−x²)，被解釋為到達遠方觀測者的光子能量比例，從而模擬紅移。
• 遊走中返回概率之和與固有時間成正比，從而建立了時間膨脹的離散、有限模型。
• 該模型表明，洛倫茲因子 γ(x) 作為離散隨機過程中返回概率之和而自然出現，為其冪級數提供了物理解釋。
• 具有吸收邊界的有限隨機遊走產生的概率分佈與薛定諤方程的有限差分行為相似，暗示量子過程與相對論性時間膨脹之間存在更深層次的聯繫。