[论文解读] A Drinfeld type presentation of affine $\imath$quantum groups I: split ADE type

Ming Lu, Weiqiang Wang|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 32被引用 7

一句话总结

本文为分裂ADE型仿射 $ι$-量子群建立了类Drinfeld型电流表示，推广了Drinfeld对仿射量子群的新表示。它引入了新的生成元与关系，以形变半壁仿射量子群，其中 $q$-Onsager代数为秩1情形，并通过 braid 群作用与中心约化，证明了新表示与标准表示之间的同构关系。

ABSTRACT

We establish a Drinfeld type new presentation for the $\imath$quantum groups arising from quantum symmetric pairs of split affine ADE type, which includes the $q$-Onsager algebra as the rank 1 case. This presentation takes a form which can be viewed as a deformation of half an affine quantum group in the Drinfeld presentation.

研究动机与目标

• 为仿射 $ι$-量子群发展一种电流代数实现（类Drinfeld型表示），推广Drinfeld对仿射量子群的表示。
• 将类Drinfeld型表示扩展至 $ι$-量子群设定，特别是分裂仿射ADE型，其中涌现出新的代数特征。
• 为 $ι$-量子群提供一种新的代数框架，其角色类似于Drinfeld表示在仿射量子群理论中的作用。
• 通过中心约化与braid群作用，建立新电流表示与标准 $ι$-量子群之间的同构关系。
• 将 $q$-Onsager代数（秩1）的结果推广至更高秩的分裂仿射ADE型 $ι$-量子群。

提出的方法

• 为 $i \in \mathbb{I}_0$，$k \in \mathbb{Z}$，$m \geq 1$ 引入新生成元 $B_{i,k}$ 与 $H_{i,m}$，构成电流代数结构。
• 通过生成元与关系（3.37）–（3.40）定义新代数 ${}^{\text{Dr}}\widetilde{{\mathbf{U}}}^{\imath}$，包括涉及 $H_{i,m}$、$B_{i,k}$ 与 $\Theta_{i,m}$ 的交换关系。
• 在通用 $ι$-量子群 $\widetilde{{\mathbf{U}}}^{\imath}$ 上建立braid群作用，以构造 $v$-根向量，并促进新关系的推导。
• 通过中心约化 $\mathbb{K}_i \mapsto -v^2\varsigma_i$ 将通用 $\widetilde{{\mathbf{U}}}^{\imath}$ 与参数化 ${\mathbf{U}}^{\imath}_{\boldsymbol{\varsigma}}$ 关联，从而恢复标准 $ι$-量子群。
• 通过匹配生成元并验证关系，利用生成函数等价性（例如 $\boldsymbol{\Theta}_i(z) = \frac{1 - Cz^2}{1 - v^{-2}Cz^2}\acute{\boldsymbol{\Theta}}_i(z)$）证明新Drinfeld型表示与标准 $ι$-量子群之间的同构关系。
• 通过直接计算，并借助Damiani与Beck关于仿射量子群的已知结果，将其适配至 $ι$-量子群设定，以验证新关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为分裂ADE型仿射 $ι$-量子群构造类Drinfeld型电流表示，类似于Drinfeld对仿射量子群的表示？
• RQ2 新表示中的新生成元与关系如何与标准 $ι$-量子群关系相关联，特别是在中心约化下？
• RQ3 braid群作用在构造 $v$-根向量与推导 $ι$-量子群设定中新关系的过程中起什么作用？
• RQ4 新表示如何将已知的 $q$-Onsager代数（秩1情形）的Drinfeld型表示推广至更高秩的仿射 $ι$-量子群？
• RQ5 新生成元 $\Theta_{i,m}$ 与 $\acute{\Theta}_{i,m}$ 之间的精确代数关系是什么？其对定义关系有何影响？

主要发现

• 本文为分裂仿射ADE型的通用 $ι$-量子群 $\widetilde{{\mathbf{U}}}^{\imath}$ 建立了类Drinfeld型电流表示，其生成元为 $H_{i,m}$ 与 $B_{i,k}$，定义关系为（3.37）–（3.40）。
• 通过braid群作用与生成函数关系 $\boldsymbol{\Theta}_i(z) = \frac{1 - Cz^2}{1 - v^{-2}Cz^2}\acute{\boldsymbol{\Theta}}_i(z)$，证明了新表示与标准 $\widetilde{{\mathbf{U}}}^{\imath}$ 之间的同构关系。
• $q$-Onsager代数（秩1）作为特例被恢复，其在该框架下的Drinfeld型表示亦被首次建立。
• 通过中心约化 $\mathbb{K}_i \mapsto -v^2\varsigma_i$ 得到参数化 $ι$-量子群 ${\mathbf{U}}^{\imath}_{\boldsymbol{\varsigma}}$，并在定理5.5中为其给出了新的Drinfeld型表示，关系式为（5.18）–（5.23）。
• 关系式（5.21）与（5.22）分别推广了量子Serre关系与量子交换关系，额外引入了涉及 $\Theta_{i,m}$ 与 $\delta_{\boldsymbol{\varsigma}}^k$ 的项。
• 关键技术突破在于引入 $\Theta_{i,m}$ 生成元及其与 $B_{i,k}$ 的非平凡关系，这些关系编码了超越仿射量子群结构的 $ι$-量子群特性。