[论文解读] $\imath$Hall algebra of the projective line and $q$-Onsager algebra

Ming Lu, Shiquan Ruan+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 28被引用 8

一句话总结

本文通过有限域上射影直线的$\imath$ Hall代数，实现了通用$q$-Onsager代数在Drinfeld型表述下的实现。证明了$\mathbb{P}^1$上凝聚层的1-周期复形的$\imath$ Hall代数同构于通用$q$-Onsager代数，其中通过扭结层实现虚根向量，通过线丛$\mathcal{O}(r)$实现实根向量，而导出等价性解释了Serre型与Drinfeld型表述之间的同构关系。

ABSTRACT

The $\imath$Hall algebra of the projective line is by definition the twisted semi-derived Ringel-Hall algebra of the category of $1$-periodic complexes of coherent sheaves on the projective line. This $\imath$Hall algebra is shown to realize the universal $q$-Onsager algebra (i.e., $\imath$quantum group of split affine $A_1$ type) in its Drinfeld type presentation. The $\imath$Hall algebra of the Kronecker quiver was known earlier to realize the same algebra in its Serre type presentation. We then establish a derived equivalence which induces an isomorphism of these two $\imath$Hall algebras, explaining the isomorphism of the $q$-Onsager algebra under the two presentations.

研究动机与目标

• 通过几何Hall代数实现通用$q$-Onsager代数在Drinfeld型表述下的实现。
• 通过构建quiver模型之外的$\imath$量子群的几何实现，扩展$\imath$程序。
• 通过底层范畴的导出等价性，解释$q$-Onsager代数的Serre型与Drinfeld型表述之间的同构关系。
• 通过$\mathbb{P}^1$上的扭结层与无扭结层，显式给出Hall代数对虚根向量与实根向量的实现。

提出的方法

• 将$\imath$ Hall代数构造为$\mathbb{P}^1$上凝聚层的1-周期复形的扭曲半导出Ringel-Hall代数。
• 利用1-Gorenstein正合范畴的半导出Ringel-Hall代数框架，定义$\imath$ Hall代数结构。
• 建立从通用$q$-Onsager代数的Drinfeld表述到$\mathbb{P}^1$的$\imath$ Hall代数的$\mathbb{Q}(\mathbf{v})$-代数同态$\Omega$。
• 将生成元$B_{1,r}$实现为$-\frac{1}{q-1}[\mathcal{O}(r)]$，并将$\Theta_m$实现为$\widehat{\Theta}_m$，通过扭结层$S_x^{(\lambda)}$。
• 推导生成函数$\widehat{\Theta}(z)$与$\widehat{\Theta}_x(z)$，通过涉及$\widehat{H}_{m,x}$的指数公式，建立$\widehat{H}_m$与$\widehat{\Theta}_m$之间的关系。
• 通过导出等价性，证明$\mathbb{P}^1$的$\imath$ Hall代数与Kroneckerquiver的$\imath$ Hall代数之间的同构，从而解释两种表述之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过$\mathbb{P}^1$上凝聚层的Hall代数，几何地实现通用$q$-Onsager代数的Drinfeld型表述？
• RQ2 在$\mathbb{P}^1$的$\imath$ Hall代数中，虚根向量$\Theta_m$如何实现？
• RQ3 Serre型与Drinfeld型表述之间同构的范畴起源是什么？
• RQ4 Drinfeld型表述中的生成元$H_m$与$\Theta_m$在$\imath$ Hall代数中如何对应于几何对象？
• RQ5 导出等价性在统一$\imath$量子群的不同表述中起到什么作用？

主要发现

• 有限域$\mathbb{F}_q$上射影直线的$\imath$ Hall代数同构于其Drinfeld型表述下的通用$q$-Onsager代数。
• 同态$\Omega$将$B_{1,r}$映射为$-\frac{1}{q-1}[\mathcal{O}(r)]$，通过$\mathbb{P}^1$上的线丛实现实根向量。
• 虚根向量$\Theta_m$实现为$\widehat{\Theta}_m = \sum_{x,d_x|m} \frac{[m]}{m} d_x \sum_{|\lambda|=m/d_x} n_x(\ell(\lambda)-1) \frac{[S_x^{(\lambda)}]}{|\operatorname{Aut}(S_x^{(\lambda)})|}$。
• 生成元$H_m$表示为$\widehat{H}_m = \sum_{x,d_x|m} \frac{[m]}{m} d_x \sum_{|\lambda|=m/d_x} n_x(\ell(\lambda)-1) \frac{[S_x^{(\lambda)}]}{|\operatorname{Aut}(S_x^{(\lambda)})|} - \delta_{m,\text{ev}} \frac{[m]}{m} [K_{m/2 \delta}]$。
• 从$\mathbb{P}^1$上1-周期复形的范畴到Kroneckerquiver模范畴的导出等价性，诱导了$q$-Onsager代数两种表述之间的同构。