[论文解读] A dual point of view on the ribbon graph decomposition of moduli space

Kevin J. Costello|ArXiv.org|Jan 6, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用 14

一句话总结

本文引入了带有边界和标记点的黎曼曲面模空间的双重胞腔分解，利用一个与模空间 $\mathcal{N}_{g,h,r,s}$ 弱同伦等价的紧致或化胞腔复形 $D_{g,h,r,s}$。该构造通过节点边界紧化和形变收缩实现，表明由具有圆盘分量的退化曲面构成的复形，为标准带状图复形提供了对偶链模型，其微分由顶点分裂而非边收缩给出。

ABSTRACT

In this note, I discuss in some detail the dual version of the ribbon graph decomposition of the moduli spaces of Riemann surfaces with boundary and marked points, which I introduced in math.AG/0402015, and used in math.QA/0412149 to construct open-closed topological conformal field theories. This dual version of the ribbon graph decomposition is a compact orbi-cell complex with a natural weak homotopy equivalence to the moduli space.

研究动机与目标

• 为带有边界和标记点的黎曼曲面模空间提供一个与标准非紧致带状图分解互补的对偶胞腔模型。
• 构造一个与模空间 $\mathcal{N}_{g,h,r,s}$ 弱同伦等价的紧致或化胞腔复形 $D_{g,h,r,s}$，以实现其同调的对偶链模型。
• 通过引入具有两种顶点类型的变体带状图复形，将带状图形式化推广至包含内部标记点的情形。
• 建立与开弦类型粘合映射（边界标记点粘合）的相容性，为模空间提供作为PROP的生成元与关系描述。
• 通过退化曲面实现带状图的几何构造，而非依赖Strebel微分。

提出的方法

• 通过允许边界上出现节点奇点，对模空间 $\mathcal{N}_{g,h,r,s}$ 构造部分紧化 $\overline{\mathcal{N}}_{g,h,r,s}$，形成具有角的轨道丛。
• 将或化胞腔复形 $D_{g,h,r,s}$ 定义为所有不可约分量均为圆盘（最多含一个内部标记点）的曲面的集合，形成自然的分层结构。
• 利用双曲度量的指数映射，对 $\overline{\mathcal{N}}_{g,h,0,s}$ 到其边界 $\partial\overline{\mathcal{N}}_{g,h,0,s}$ 进行形变收缩，将非奇异曲面向内流动至节点曲面。
• 利用纤维丛 $\overline{\mathcal{N}}_{g,h,r,s} \to \overline{\mathcal{N}}_{g,h,0,s}$（忽略边界标记点）推导出 $\partial\overline{\mathcal{N}}_{g,h,r,s} \hookrightarrow \overline{\mathcal{N}}_{g,h,r,s}$ 是弱同伦等价。
• 通过边界（经由节点上的迭代纤维积）的单纯结构使用归纳法，证明 $D_{g,h,r,s} \to \partial\overline{\mathcal{N}}_{g,h,r,s}$ 是弱等价。
• 通过图表追逐得出 $D_{g,h,r,s} \to \overline{\mathcal{N}}_{g,h,r,s}$ 是弱同伦等价，因此在同伦范畴中 $D_{g,h,r,s} \simeq \mathcal{N}_{g,h,r,s}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个与带有边界和标记点的黎曼曲面模空间弱同伦等价的紧致或化胞腔复形？
• RQ2 对偶带状图复形与标准带状图复形在微分结构和组合学上有什么不同？
• RQ3 节点边界奇点在构造模空间自然紧化中起什么作用？
• RQ4 如何利用双曲度量几何地构造模空间到其边界上的形变收缩？
• RQ5 所得链模型在多大程度上与标记点上的开弦粘合操作相容？

主要发现

• 或化胞腔复形 $D_{g,h,r,s}$ 与模空间 $\mathcal{N}_{g,h,r,s}$ 弱同伦等价，为其实现了同伦类型的紧致胞腔模型。
• 当 $s=0$ 时，复形 $D_{g,h,r,0}$ 同构于标准带状图复形的对偶，其微分由顶点分裂而非边收缩给出。
• 当 $s>0$ 时，复形涉及一种变体带状图，包含两种顶点类型：一种用于边界分量，一种用于内部标记点。
• 该构造是几何自然的，直接源于紧化模空间 $\overline{\mathcal{N}}_{g,h,r,s}$ 的边界结构，不依赖于Strebel微分。
• 包含关系 $D_{g,h,r,s} \hookrightarrow \overline{\mathcal{N}}_{g,h,r,s}$ 是弱同伦等价，其证明基于 $\overline{\mathcal{N}}_{g,h,0,s}$ 到其边界的形变收缩，以及对边界的单纯结构的归纳论证。
• 该方法为模空间提供了（同伦意义下的）生成元与关系描述（作为PROP），与边界标记点的开弦粘合操作相容。