[论文解读] A framework for randomized benchmarking over compact groups

Linghang Kong|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文通过将矩阵扰动理论推广至无限维傅里叶空间，将随机化基准测试（RB）扩展至连续紧致李群（如完整酉群），实现了对所有量子门（包括非 Clifford 门和连续门集）的统一保真度估计。在小噪声条件下，证明输出衰减为矩阵指数的线性组合，从而实现完全随机化基准测试（FRB），统一估计各类量子门的保真度。

ABSTRACT

Characterization of experimental systems is an essential step in developing and improving quantum hardware. A collection of protocols known as Randomized Benchmarking (RB) was developed in the past decade, which provides an efficient way to measure error rates in quantum systems. In a recent paper (arxiv:2010.07974), a general framework for RB was proposed, which encompassed most of the known RB protocols and overcame the limitation on error models in previous works. However, even this general framework has a restriction: it can only be applied to a finite group of gates. This does not meet the need posed by experiments, in particular the demand for benchmarking non-Clifford gates and continuous gate sets on quantum devices. In this work we generalize the RB framework to continuous groups of gates and show that as long as the noise level is reasonably small, the output can be approximated as a linear combination of matrix exponential decays. As an application, we numerically study the fully randomized benchmarking protocol (i.e. RB with the entire unitary group as the gate set) enabled by our proof. This provides a unified way to estimate the gate fidelity for any quantum gate in an experiment.

研究动机与目标

• 解决现有随机化基准测试（RB）框架的局限性，即其仅限于有限群，无法对非 Clifford 门或连续门集进行基准测试。
• 通过将 RB 推广至紧致李群，建立统一框架，实现对所有量子门（包括连续族门）的保真度估计。
• 克服先前通用 RB 框架的限制（要求有限门集），尤其满足实验中对连续门集（如 XY- 和 fSim-门）的需求。
• 为完整酉群上的完全随机化基准测试（FRB）建立理论基础，使交错 FRB 能够对任意门进行基准测试。
• 严格推广矩阵扰动理论至无限维希尔伯特空间，为 RB 向连续群的推广提供数学支持。

提出的方法

• 将矩阵扰动定理（来自 [1, 定理 6]）推广至无限维希尔伯特空间，使能在紧致群的傅里叶空间中分析谱分离性。
• 利用紧致李群的表示理论，将噪声通道分解为不可约表示，从而在傅里叶域中处理该问题。
• 证明在小噪声条件下，保真度衰减为矩阵指数的线性组合，衰减速率由每个不可约表示中噪声通道的特征值决定。
• 应用广义扰动理论，表明在紧致群上，即使存在门依赖噪声，随机化基准测试序列的输出仍近似呈指数衰减。
• 通过从完整酉群中均匀采样门，构建完全随机化基准测试（FRB）协议，确保对 SPAM 误差的鲁棒性，并实现对所有门的通用保真度估计。
• 利用数值模拟验证理论结果，比较 FRB 与 Clifford RB 的稳定性，并测试 FRB 在连续门族上的交错基准测试。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机化基准测试能否从有限群推广至连续紧致李群（如酉群），同时保持保真度衰减的指数行为？
• RQ2 当噪声为小门依赖噪声时，紧致群上随机化基准测试的输出在何种条件下仍表现出矩阵指数衰减？
• RQ3 在完整酉群上的完全随机化基准测试（FRB）能否为任意量子门（包括非 Clifford 门和连续门集）提供稳定且准确的保真度估计？
• RQ4 在同时适用于 FRB 和标准 Clifford RB 的基准测试任务中，FRB 的稳定性与准确性如何与 Clifford RB 比较？
• RQ5 交错 FRB 是否可用于估计连续门族（如 XY- 或 fSim-门）的保真度？数值模拟结果与理论预测的吻合程度如何？

主要发现

• 本文证明，对于紧致李群，在小噪声条件下，随机化基准测试中的保真度衰减为矩阵指数的线性组合，推广了 [1, 定理 8] 的有限群结果。
• 该框架实现了在完整酉群上的完全随机化基准测试（FRB），使任意量子门（包括非 Clifford 门和连续门集）的保真度可实现统一估计。
• 数值模拟表明，FRB 在基准测试共同门时，其稳定性与 Clifford RB 相当，验证了其鲁棒性。
• 交错 FRB 成功估计了连续门族中门的保真度，模拟结果与理论预测高度一致。
• 在无限维希尔伯特空间中推广的矩阵扰动定理，确保了谱分离与收敛性，使即使在存在无穷多个不可约表示的情况下，衰减近似依然成立。
• 该理论框架支持在近场量子计算中使用 RB 对连续门集进行基准测试，例如变分量子算法（VQE、QAOA）以及使用原生连续门（如 fSim）的设备。