[论文解读] A Functorial Symplectic Instanton Homology via Traceless Character Varieties

Henry T. Horton|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2016

Geometric and Algebraic Topology被引用 3

一句话总结

该论文通过使用与海马分解相关的 SU(2) 无迹表征簇中的拉格朗日子流形弗洛尔同调，为闭合、定向的三维流形构造了一个函子性辛 instanton 同调，记为 SI(Y)。该构造在海马分解下具有自然性，从而得到一个具体的不变量而非同构类，并将构造推广至 r > 2 时的 SU(r)，为三维流形之间的 cobordism 提供了函子性框架。

ABSTRACT

Using ideas pioneered by Wehrheim and Woodward, we associate to any closed, oriented $3$-manifold $Y$ a finitely generated abelian group $\mathrm{SI}(Y)$ obtained from (quilted) Lagrangian Floer homology in a certain moduli space of $\mathrm{SU}(2)$-representations associated to a special kind of handlebody decomposition of $Y$. We show that $\mathrm{SI}(Y)$ is natural with respect to Heegaard splittings of $Y$, so that it may be considered as a concrete group as opposed to an isomorphism class of a group. By adapting constructions of Ozsv\'ath and Szab\'o from Heegaard Floer homology to our setting, we show how to obtain functorial invariants of cobordisms between connected $3$-manifolds. We also generalize the construction to the case of $\mathrm{SU}(r)$-representations, $r > 2$.

研究动机与目标

• 为闭合、定向的三维流形定义一个具体且自然的辛 instanton 同调不变量 SI(Y)，避免对同构类的依赖。
• 将奥兹瓦斯和萨博的海马弗洛尔同调技术适配到辛 instanton 设置中。
• 将构造从 SU(2) 推广至 r > 2 时的 SU(r)，从而扩大不变量的适用范围。
• 通过该同调理论建立三维流形之间 cobordism 的函子性。
• 通过 SU(r)-表示的模空间提供 instanton 同调的几何与拓扑框架。

提出的方法

• 利用魏尔海姆和伍德沃德的拼接拉格朗日子流形弗洛尔同调框架，在 SU(2)-表示的模空间中定义 SI(Y)。
• 通过 Y 的特殊处理体分解构造 SI(Y)，确保在海马分解下具有自然性。
• 将同调群定义为与处理体分解相关的两个拉格朗日子流形的弗洛尔同调。
• 通过在表征簇和拉格朗日子流形设置中将 SU(2) 替换为 SU(r)，将构造推广至 SU(r)-表示。
• 将奥兹瓦斯–萨博的 cobordism 映射适配到辛 instanton 设置中，确保在 cobordism 下的函子性。
• 确保所得不变量为有限生成阿贝尔群，且在辅助选择下至多通过典范同构保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过海马分解，将辛 instanton 同调定义为一个具体的群，而非同构类？
• RQ2 在辛设置中，如何建立 instanton 同调在 cobordism 下的函子性？
• RQ3 SU(2) 构造在多大程度上可推广至 r > 2 时的 SU(r)？
• RQ4 无迹表征簇在定义行为良好的 instanton 同调不变量中起什么作用？
• RQ5 魏尔海姆和伍德沃德的拼接弗洛尔同调技术如何应用于函子性三维流形不变量的构造？

主要发现

• SI(Y) 是一个有限生成阿贝尔群，对任意闭合、定向的三维流形 Y 都自然相关联，且在选择下至多通过典范同构保持不变。
• 该构造在海马分解下具有自然性，意味着 SI(Y) 是一个具体群，而非同构群的类。
• 通过将奥兹瓦斯–萨博的 cobordism 映射框架适配到辛 instanton 设置中，获得了连接三维流形之间 cobordism 的函子性不变量。
• 该构造可推广至 r > 2 时的 SU(r)-表示，将不变量扩展至更高秩结构群。
• 所得同调理论在 cobordism 下是函子性的，为辛 instanton 背景下的拓扑量子场论结构提供了类似框架。
• 使用无迹表征簇可确保模空间适合拉格朗日子流形弗洛尔同调，并捕获 SU(r)-表示的关键数据。