[论文解读] A geometric Jacquet-Langlands correspondence for paramodular Siegel threefolds

Pol van Hoften|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 57被引用 6

一句话总结

本论文通过证明其内上同调的权重-单值猜想并利用奇异点处的Picard-Lefschetz理论，建立了参数模Siegel三倍体上的几何Jacquet-Langlands对应。该工作构造了一个从上同调Siegel模形式到一个定 definite 单体群上的代数模形式的Hecke-等变单射，验证了Ibukiyama的猜想，并通过积分单值技术得出了GSp4自守表示的水平降低结果。

ABSTRACT

We study the Picard-Lefschetz formula for the Siegel modular threefold of paramodular level and prove the weight-monodromy conjecture for its middle degree inner cohomology with arbitrary automorphic coefficients. We give some applications to the Langlands programme: Using Rapoport-Zink uniformisation of the supersingular locus of the special fiber, we construct a geometric Jacquet-Langlands correspondence between $\operatorname{GSp}_4$ and a definite inner form, proving a conjecture of Ibukiyama. We also prove an integral version of the weight-monodromy conjecture and use it to deduce a level lowering result for cohomological cuspidal automorphic representations of $\operatorname{GSp}_4$.

研究动机与目标

• 证明关于Qp上参数模Siegel三倍体的内上同调的权重-单值猜想。
• 通过奇异点构造GSp4与其一个定内形式之间的几何Jacquet-Langlands对应。
• 验证Ibukiyama关于存在从p-新Siegel模形式到定单体群上代数模形式的Hecke-等变单射的猜想。
• 建立权重-单值猜想的积分版本，以推导出GSp4上同调尖点自守表示的水平降低结果。

提出的方法

• 在p处具有坏约化的参数模Siegel三倍体上使用étale上同调中的Picard-Lefschetz公式。
• 应用Rapoport-Zink统一化，将奇异点识别为形如G(Q)\G(Af)/(UpK2(p))的adelic双商。
• 将定单体群G上的代数模形式与这些奇异点的有限集合上的函数对应起来。
• 利用[30]中的上同调消去定理，证明在足够正则权下H3! (XQp, V)的权重-单值猜想。
• 利用Galois-等变分解定理与中间扩张，将内上同调与紧化Shimura簇的交上同调联系起来。
• 应用上同调的直和项与迹映射结果，推导出单值不变性与整性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于在p处具有参数模水平结构的Qp上参数模Siegel三倍体的中间上同调，权重-单值猜想是否成立？
• RQ2 能否通过奇异点构造GSp4与一个定内形式之间的几何Jacquet-Langlands对应？
• RQ3 是否存在一个Hecke-等变单射，将p-新Siegel模形式映射到定单体群G上的代数模形式，如Ibukiyama所猜想？
• RQ4 能否建立权重-单值猜想的积分版本，以推导出GSp4上同调尖点自守表示的水平降低结果？

主要发现

• 权重-单值猜想对H3! (XQp, V)成立，其中X为一个参数模Siegel三倍体，V为足够正则权的自守局部系统。
• 通过Picard-Lefschetz公式构造了几何Jacquet-Langlands对应，得到从Sk,j[K(p)]new到AGk,j[K2(p)]的Hecke-等变单射，其中k ≥ 0且j ≥ 3。
• Ibukiyama的猜想得到验证：映射Sk,j[K(p)]new ֒→AGk,j[K2(p)]在p外Hecke代数作用下是单射且Hecke-等变的。
• 建立了权重-单值猜想的积分改进，使GSp4上同调尖点自守表示的水平降低结果得以推导。
• 证明了映射Sk,j[K(p)]new →AGk,j[K2(p)]的像与来自低水平形式及常值形式的提升构成互补子空间。
• 当k = 0, j = 3时，上同调H4c(AH,η, Qℓ) = Qℓ(−2)表明，映射α的余核的维数公式与猜想一致。