[论文解读] EKOR strata for Shimura varieties with parahoric level structure

Xu Shen, Chia‐Fu Yu+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 59被引用 8

一句话总结

本文通過 $G$-zips 和局部 $σ$-層，以幾何方法構造了具有旁正則水平結構的希爾伯特曲面上的 EKOR 走廊，確立了其光滑性、維數公式與閉包關係。該研究驗證了基辛-帕帕斯整數模型的 He-Rapoport 公理，證明 EKOR 走廊細化了 KR 走廊，並與牛頓走廊和中心走廊相關，從而直接實現了此前基於群論的構造。

ABSTRACT

In this paper we study the geometry of reduction modulo $p$ of the Kisin-Pappas integral models for certain Shimura varieties of abelian type with parahoric level structure. We give some direct and geometric constructions for the EKOR strata on these Shimura varieties, using the theories of $G$-zips and mixed characteristic local $\mathcal{G}$-Shtukas. We establish several basic properties of these strata, including the smoothness, dimension formula, and closure relation. Moreover, we apply our results to the study of Newton strata and central leaves on these Shimura varieties.

研究动机与目标

• 在具有旁正則水平結構的希爾伯特曲面上，提供 EKOR 走廊的直接幾何構造，超越純粹的群論定義。
• 驗證具有旁正則水平結構的阿貝良型希爾伯特曲面的基辛-帕帕斯整數模型的 He-Rapoport 公理。
• 建立 EKOR 走廊的幾何性質，包括光滑性、維數公式與閉包關係。
• 釐清 EKOR 走廊與牛頓走廊及中心走廊的關係，明確其在希爾伯特曲面模 $p$ 清除幾何中的角色。
• 將 $G$-zips 與局部 $σ$-層的理論擴展至混合特徵情形，以構造與分析旁正則情形下的 EKOR 走廊。

提出的方法

• 利用 $G$-zips 與混合特徵的局部 $σ$-層理論，在希爾伯特曲面的特殊纖維上幾何構造 EKOR 走廊。
• 應用具有旁正則水平結構的阿貝良型希爾伯特曲面的基辛-帕帕斯整數模型，並利用其局部模型圖。
• 運用 $p$-可除群與晶體張量的形變理論，將特殊纖維上的點與完備離散賦值環上的提升聯繫起來。
• 利用 Serre-Tate 定理，將阿貝良簇的提升與 $p$-可除群的提升聯繫起來，從而構造模空間中的點。
• 構造一個交換圖，聯繫映射 $\Upsilon_{\mathsf{K}}$ 與 $\Upsilon_{\mathsf{K}^\prime}$，驗證 He-Rapoport 公理的第 4(c) 條。
• 分析模空間之間的態射 $\pi_{\mathsf{K}^\prime,\mathsf{K}}$，證明其纖為有限且為滿射，從而確立 stratification 的有限性與基變換相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在具有旁正則水平結構的希爾伯特曲面上，以幾何方法而非純粹群論方式構造 EKOR 走廊？
• RQ2 在希爾伯特曲面模 $p$ 細化中，EKOR 走廊、牛頓走廊與中心走廊之間的關係為何？
• RQ3 在基辛-帕帕斯整數模型上，EKOR 走廊是否滿足 He-Rapoport 公理，特別是公理 4(c)？
• RQ4 在旁正則情形下，EKOR 走廊的幾何性質（如光滑性、維數與閉包關係）為何？
• RQ5 在旁正則水平結構的背景下，EKOR 走廊如何細化 KR 分層？

主要发现

• 基辛-帕帕斯整數模型特殊纖維上的 EKOR 走廊是光滑的，此結果透過結合 $G$-zips 與局部 $σ$-層的幾何方法確立。
• EKOR 走廊的維數公式已明確計算，並推廣了 EO 與 KR 走廊的已知結果。
• EKOR 走廊的閉包關係透過布魯特-蒂斯複形與伊瓦霍里-韋爾群的作用得以確定。
• 模空間之間的態射 $\pi_{\mathsf{K}^\prime,\mathsf{K}}$ 具有有限纖且為滿射，確認了分層的有限性與基變換相容性。
• EKOR 分層細化了具有一般旁正則水平結構的 KR 分層，提供了特殊纖維的更細分劃。
• 該構造在 $p > 2$、$K^\prime = K^{\prime\circ}$ 與 $K = K^{\circ}$ 條件下，確認了 canonical Rapoport-Zink 模型的 He-Rapoport 公理 4(c)，從而驗證了 EKOR 理論的基礎框架。