[论文解读] Arthur's multiplicity formula for GSp$_4$ and restriction to Sp$_4$

Toby Gee, Olivier Taïbi|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 32被引用 6

一句话总结

本文为 GSp₄（与 GSpin₅ 同构）提供了亚瑟多重性公式的条件性证明，确立了离散自守表示的全局分类，并证明了 GSp₄ 与 Sp₄ 的局部兰兰兹对应之间的相容性。通过使用稳定扭曲迹公式、外平方 functoriality 和 theta 对应，本文构造了局部亚瑟包，并利用全局迹公式技术验证了多重性公式。

ABSTRACT

We prove the classification of discrete automorphic representations of GSp$_4$ explained in [Art04], as well as a compatibility between the local Langlands correspondences for GSp$_4$ and Sp$_4$ .

研究动机与目标

• 提供对 GSp₄ 离散自守表示的亚瑟分类的无条件证明，如 [Art04] 所宣布，但因技术复杂性，尚未能通过 [Art13] 的一般方法证明。
• 建立 GSp₄ 与 Sp₄ 局部兰兰兹对应之间的相容性，特别是在自守表示限制的背景下。
• 通过显式方法构建 GSp₄ 在非温和情形下的局部亚瑟包，基于 [MW06] 和 [AMR15] 的结果。
• 通过结合 GL₄ × GL₁ 的稳定扭曲迹公式与已知的内表传递和 functoriality 结果，验证 GSp₄ 的全局多重性公式。
• 将自守表示限制从 GSp₄ 推广至 Sp₄ 的谱描述，推广至形式温和的全局参数，推广了 Labesse–Langlands 与 Ramakrishnan 的结果。

提出的方法

• 对 GL₄ × GL₁ 使用稳定（扭曲）迹公式，其中自同构为 g ↦ t g⁻¹，将 GSpin₅ 视为扭曲内表端点群应用。
• 应用 GL₄ 的外平方 functoriality（[Kim03] 中证明，[Hen09] 中完成），将 GL₄ 的自守表示与 GSp₄ 的自守表示联系起来。
• 通过 theta 对应（来自 [GT11a]）建立 GSp₄ 的局部兰兰兹对应，并验证其与扭曲内表特征关系（来自 [CG15]）的相容性。
• 使用 GL₂ × GL₂ → GL₄ 的张量积 functoriality（来自 [Ram00]）分析全局参数，并通过限制至 Sp₄ 约束其形式。
• 应用 GL₂ 与 GL₄ 的辛/正交选择性，对全局参数进行分类，并验证其与亚瑟预测的一致性。
• 依赖于从 GSp₄ 到 Sp₄ 的限制诱导表示的无多重性分解，从而实现局部与全局 L-参数的比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用迹公式技术及秩 2 群体的特定工具，无条件地证明 GSp₄ 的亚瑟多重性公式？
• RQ2 GSp₄ 与 Sp₄ 的局部兰兰兹对应之间有何关系，特别是在自守表示限制的背景下？
• RQ3 GSp₄ 在非温和情形下的局部亚瑟包结构如何？如何显式构造它们？
• RQ4 在多大程度上能通过稳定扭曲迹公式与 functoriality 确定 GSp₄ 离散自守表示的全局参数？
• RQ5 从 GSp₄ 到 Sp₄ 的自守表示限制是否保持多重性一的性质？这与全局多重性公式有何关联？

主要发现

• 本文证明了 GSp₄ 的全局多重性公式，确认全局表示包中的自守表示出现多重性为一，且由其全局亚瑟–兰兰兹参数唯一确定。
• 本文确立了 GSp₄(F) 上不可约非阿赋表示 π 限制到 Sp₄(F) 时，其分解为单个局部包中表示的直和，每个表示的多重性为一。
• GSp₄ 的局部兰兰兹对应与 Sp₄ 的局部兰兰兹对应相容：Sp₄ 的每个 L-参数均可唯一提升为 GSp₄ 的 L-参数（至多相差扭）。
• 对于温和表示，π|_Sp₄(F) 同构于 L-参数在 SO₄ 上投影所关联的局部包中所有表示的直和。
• 通过限制至 Sp₄ 以及参数的外平方约束，本文证明了离散自守表示的全局参数形式与亚瑟的预测一致。
• 对于形式温和的全局参数，从 GSp₄ 到 Sp₄ 的自守表示限制映射的谱描述被完全确定，推广了经典的多重性一结果。