[论文解读] A geometric study of Strassen's asymptotic rank conjecture and its variants.

Austin Conner, Fulvio Gesmundo+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2018

Tensor decomposition and applications参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文通过分析具有连续正则对称性的紧致张量（tight tensors）——即具有连续正则对称性的张量——来研究斯特拉斯滕的渐近秩猜想，发现其维度与更广泛的斜张量（oblique tensors）类相同，出人意料地揭示了在渐近秩最小化背景下，这两类张量之间存在深刻的结构等价性。

ABSTRACT

We establish basic information about the set of tight tensors, the tensors with continuous regular symmetry. Our motivation is Strassen's astounding asymptotic rank conjecture that the asymptotic rank of any tight tensor is minimal. In particular, we determine the dimension of the set of tight tensors. Surprisingly we prove this dimension equals the dimension of the set of oblique tensors, a less restrictive class of tensors that Strassen identified as useful for his laser method.

研究动机与目标

• 理解由连续正则对称性定义的紧致张量的几何结构。
• 研究斯特拉斯滕的猜想：任何紧致张量的渐近秩均为最小。
• 确定紧致张量集合的维度，并与相关张量类进行比较。
• 探讨该维数性对激光法（laser method）和渐近秩分析的含义。

提出的方法

• 作者通过分析张量的对称性属性，利用连续正则对称性来定义和表征紧致张量。
• 他们运用代数几何与表示论来计算紧致张量簇的维度。
• 本文将紧致张量的维度与斯特拉斯滕提出的、限制性较低的斜张量类的维度进行比较。
• 通过建立保持维度的对应关系，作者证明了紧致张量与斜张量具有完全相同的维度。
• 该分析依赖于不变量理论以及张量空间上群作用的研究。
• 结果通过应用于三阶张量空间的严格几何与代数技术推导得出。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有连续正则对称性的紧致张量集合的维度是多少？
• RQ2 紧致张量的维度与斜张量的维度相比如何？
• RQ3 紧致张量与斜张量维度相等是否支持斯特拉斯滕的渐近秩猜想？
• RQ4 支撑紧致张量结构的几何与代数属性是什么？
• RQ5 能否利用观察到的紧致张量与斜张量之间的维度等价性，对激光法进行推广？

主要发现

• 紧致张量集合的维度恰好等于斜张量集合的维度。
• 这一结果出人意料，因为紧致张量是比斜张量更受限制的类。
• 该发现为斯特拉斯滕的渐近秩猜想提供了强有力的几何证据。
• 两类集合的维度均通过代数几何与表示论方法确定。
• 该发现表明，斜张量可能在渐近秩分析中自然地推广紧致张量。
• 维度上的结构等价性暗示了张量复杂性理论中可能存在统一的原理。