[论文解读] A horse racing between the block maxima method and the peak-over-threshold approach

Axel Bücher, Chen Zhou|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2018

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 74被引用 10

一句话总结

本文对极值统计中的块最大值（BM）方法与阈值超限（POT）方法进行了全面的理论与实践比较。结果表明，两种方法并无绝对优劣：在序列相关性存在时，BM方法在重现水平估计方面更优；而POT方法在分位数估计方面表现更佳；具体选择取决于数据的依赖结构和统计目标。

ABSTRACT

Classical extreme value statistics consists of two fundamental approaches: the block maxima (BM) method and the peak-over-threshold (POT) approach. It seems to be general consensus among researchers in the field that the POT method makes use of extreme observations more efficiently than the BM method. We shed light on this discussion from three different perspectives. First, based on recent theoretical results for the BM approach, we provide a theoretical comparison in i.i.d.\ scenarios. We argue that the data generating process may favour either one or the other approach. Second, if the underlying data possesses serial dependence, we argue that the choice of a method should be primarily guided by the ultimate statistical interest: for instance, POT is preferable for quantile estimation, while BM is preferable for return level estimation. Finally, we discuss the two approaches for multivariate observations and identify various open ends for future research.

研究动机与目标

• 解决长期存在的争议：即在极值分析中，阈值超限（POT）方法是否优于块最大值（BM）方法。
• 在独立同分布（i.i.d.）与依赖数据情景下，评估BM与POT的相对性能，尤其关注渐近效率与偏差。
• 阐明在存在序列相关性或多重依赖性时，每种方法更优的条件。
• 识别将二阶条件与渐近理论推广至多元与时间序列设置时的开放性理论挑战。
• 通过概述比较BM与POT时的关键未解问题，尤其是随机过程与多元极值中的问题，激发进一步研究。

提出的方法

• 利用块最大值的二阶条件最新研究成果，对BM与POT进行理论比较，建立在独立同分布与严平稳时间序列假设下的渐近性质。
• 将广义极值（GEV）分布用于BM，广义帕累托（GP）分布用于POT，分别作为块最大值与阈值超限值的极限模型。
• 应用极值指数（extremal index）在依赖设定中连接BM与POT估计量，尤其用于量化序列相关性对尾部行为的影响。
• 推导BM与POT估计量一致且渐近正态的条件，关注偏差与方差之间的权衡。
• 将理论结果扩展至多元与随机过程设定，使用广义极值稳定过程与广义帕累托过程作为极限模型。
• 采用插值法（plug-in principle）从两种方法推导高分位数与尾部概率的估计量，比较其理论性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，块最大值方法在渐近效率与偏差方面优于阈值超限方法？
• RQ2 时间序列中的序列相关性如何影响BM与POT估计量的相对性能？在重现水平估计与分位数估计中，哪种方法更合适？
• RQ3 能否建立统一的理论框架，用于比较多元与依赖设定下BM与POT的二阶条件？
• RQ4 BM与POT方法的最佳块大小与阈值是什么？在实践中如何减少偏差？
• RQ5 POT方法在多大程度上可推广至随机过程？在这些设定下，其与BM方法相比如何？

主要发现

• 在某些i.i.d.情景下，块最大值方法在收敛速度方面可优于阈值超限方法，挑战了POT始终更高效的普遍认知。
• 对于严平稳时间序列，BM与POT的选择应由统计目标决定：BM更适用于重现水平估计，POT更适用于分位数估计。
• 极值指数在依赖设定中起关键作用，可连接BM与POT估计量，从而实现不同方法间尾部分布行为的比较。
• 在多元设定中，当满足适当的依赖条件时，BM与POT均一致且渐近正态，但由于缺乏多元二阶条件，理论比较仍不可行。
• POT方法在多元与随机过程设定中理论发展更充分，而BM方法在这些设定中，尤其在二阶条件方面，理论基础尚不完整。
• 一个重大开放性问题在于缺乏可实现BM与POT框架等价性的多元二阶条件，阻碍了高维情形下的直接比较。