[论文解读] A large deviation principle for block models

Christian Borgs, Jennifer Chayes+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 30被引用 8

一句话总结

本文通过将密集块模型随机图视为随机图子，建立了其大偏差原理（LDP），从而能够分析诸如正则图中高同态密度等罕见事件。研究识别出一个‘对称’相，此时条件图与原始块模型相似；以及一个‘对称性破缺’区域，其结构发生偏离，揭示了类似于 Erdős–Rényi 模型的可逆相变。

ABSTRACT

We initiate a study of large deviations for block model random graphs in the dense regime. Following Chatterjee-Varadhan(2011), we establish an LDP for dense block models, viewed as random graphons. As an application of our result, we study upper tail large deviations for homomorphism densities of regular graphs. We identify the existence of a "symmetric" phase, where the graph, conditioned on the rare event, looks like a block model with the same block sizes as the generating graphon. In specific examples, we also identify the existence of a "symmetry breaking" regime, where the conditional structure is not a block model with compatible dimensions. This identifies a "reentrant phase transition" phenomenon for this problem -- analogous to one established for Erdos-Renyi random graphs (Chatterjee-Dey(2010), Chatterjee-Varadhan(2011)). Finally, extending the analysis of Lubetzky-Zhao(2015), we identify the precise boundary between the symmetry and symmetry breaking regime for homomorphism densities of regular graphs and the operator norm on Erdos-Renyi bipartite graphs.

研究动机与目标

• 在图子框架下，为密集块模型随机图发展大偏差原理（LDP）。
• 分析在罕见事件（如正则图的异常高同态密度）条件下块模型图的结构。
• 表征上尾偏差中对称与对称性破缺区域之间的相变。
• 将先前关于 Erdős–Rényi 图的结果扩展至块模型，识别出条件图结构保持块状或偏离块状的条件。

提出的方法

• 将密集块图建模为具有固定块结构和边概率 $p_{ij}$ 的随机图子，利用图极限理论。
• 应用大偏差理论，以 $n^2$ 为速度推导出 LDP，使用基于与生成图子 $W_0$ 的相对熵的速率函数 $J_{W_0}(f)$。
• 分析 $d$-正则图 $H$ 的同态密度 $t(H,G)$ 的上尾问题，通过在约束 $t(H,f) \to t_{\text{max}}$ 下最小化 $J_{W_0}(f)$ 来识别变分问题。
• 使用图子拓扑和切范数 $\delta_\square$ 来表征条件图的收敛性与结构极限。
• 识别出一个对称区域，其中变分问题的最小化器是与 $W_0$ 具有相同块结构的块模型；以及一个对称性破缺区域，其中最小化器并非如此。
• 运用变分分析工具、泛函 $\phi_\tau$ 的连续性以及极值图论方法来区分区域，包括对二分 Erdős–Rényi 图的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 当块模型图在正则图 $H$ 的高同态密度条件下，其原始块结构在何种条件下得以保持？
• RQ2 条件图结构是否表现出对称性破缺，即速率函数的最小化器并非具有兼容维度的块模型？
• RQ3 对于块模型中正则图的同态密度，对称与对称性破缺区域之间的精确边界是什么？
• RQ4 在二分 Erdős–Rényi 图的上尾区域中，邻接矩阵的算子范数行为如何？是否表现出对称性破缺？
• RQ5 块模型中的相变是否可类比于 Erdős–Rényi 图中观察到的可逆相变来表征？

主要发现

• 为密集块模型随机图建立了大偏差原理，速度为 $n^2$，采用图子框架和相对熵作为速率函数。
• 对于 $d$-正则图，存在一个对称区域，此时在高同态密度条件下，图收敛于与原始图具有相同块结构的块模型。
• 在特定情形（如带植 clique 或独立集的 Erdős–Rényi 图）中，出现对称性破缺区域，此时条件图并非具有兼容维度的块模型。
• 对于正则图的同态密度以及二分 Erdős–Rényi 图的算子范数，对称与对称性破缺区域之间的边界被精确表征。
• 在上尾 $t = t_{\text{max}}$ 处，条件图在切范数下收敛于最大化器 $\tilde{f}_{\text{max}}$，且概率以速率 $J_{W_0}(\tilde{f}_{\text{max}})$ 指数衰减，从而确认了 LDP。