[论文解读] A lattice of combinatorial Hopf algebras, Application to binary trees with multiplicities

Jean-Baptiste Priez|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文通过从类似plactic的幺半群出发的多项式实现，构造了组合Hopf代数上的格结构。通过取sylvester幺半群与stalactic幺半群的上确界，构造了一个带有重数的二叉树上的新Hopf代数，并利用WQSym#对偶代数中的生成函数技术，证明了这些树的钩长公式。

ABSTRACT

In a first part, we formalize the construction of combinatorial Hopf algebras from plactic-like monoids using polynomial realizations. Thank to this construction we reveal a lattice structure on those combinatorial Hopf algebras. As an application, we construct a new combinatorial Hopf algebra on binary trees with multiplicities and use it to prove a hook length formula for those trees. Dans une première partie, nous formalisons la construction d'algèbres de Hopf combinatoires à partir d'une réalisation polynomiale et de monoïdes de type monoïde plaxique. Grâce à cette construction, nous mettons à jour une structure de treillis sur ces algèbres de Hopf combinatoires. Comme application, nous construisons une nouvelle algèbre de Hopf sur des arbres binaires à multiplicités et on l'utilise pour démontrer une formule des équerres sur ces arbres.

研究动机与目标

• 通过从类似plactic的幺半群出发的多项式实现，形式化组合Hopf代数的一般构造方法。
• 通过提升幺半群同余关系的格结构，揭示此类Hopf代数上的格结构。
• 将此框架应用于构造一个在带有重数的二叉树上的新Hopf代数。
• 利用WQSym对偶代数中的生成函数，证明这些树的钩长公式。
• 探索此类构造是否能为良好幺半群产生通用的钩长公式。

提出的方法

• 通过从自由幺半群到字的映射（标准形、打包、parkization）定义Hopf代数的多项式实现。
• 使用幺半群同余关系（如sylvester、stalactic、hypoplactic）定义等价类，从而生成Hopf代数的基。
• 将幺半群同余关系上的格运算（交与并）提升到所得到的Hopf代数上的运算。
• 将带有重数的二叉树上的新Hopf代数构造为sylvester与stalactic幺半群的上确界。
• 在WQSym#的对偶代数中使用生成函数，对树插入的不动点方程进行建模，通过双线性映射编码树结构。
• 通过钩长公式证明，生成函数中树T的系数等于f(T)，即在插入下产生T的打包字的数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 幺半群同余关系的格结构能否系统地提升为组合Hopf代数的格？
• RQ2 通过两个幺半群（如sylvester与stalactic）的上确界构造Hopf代数，是否能自然地导出钩长公式？
• RQ3 [HNT08b]中使用的生成函数方法能否推广，以证明带有重数的树的钩长公式？
• RQ4 标准形、打包与parkization等映射在构造此类Hopf代数中是否具有典范作用？
• RQ5 所有‘良好’幺半群是否都能通过类似的生成函数构造产生钩长公式？

主要发现

• 通过从类似plactic的幺半群出发的多项式实现构造组合Hopf代数，其格结构同构于幺半群同余关系的格。
• sylvester与stalactic幺半群的上确界导出了一个在带有重数的二叉树上的新Hopf代数，其中每棵树对应一个基元素。
• 在二叉搜索树插入算法下，能产生给定树T的打包字的数量为 f(T) = |T|! / ∏_{t∈T} (|t| (m(t)−1)!），从而证明了一个新的钩长公式。
• 在WQSym#对偶代数中的生成函数BT(1)等于所有满足Bm(u) = T的打包字u对应的基元素Su之和，通过级数求值确认了该公式。
• 函数方程 x = 1 + ∫₀^z e^{sx(s)^2} ds 的生成函数解编码了树结构，并对大小为n的树T给出 BT(1) = f(T) z^n / n!。
• 该方法推广了[HNT08b]的方法，并提示可通过类似构造证明这些树的q-模拟钩长公式。